Il existe \(a>0\) tel que \(f\) est définie et continue sur \([a,+\infty[\).

1er cas. Supposons que \(\ell\) est réel. Soit \(\varepsilon>0\).

\[\exists A_1\geq a/\;\forall X\in[a,+\infty[,\;(X\geq A_1\Rightarrow \ell-\frac{\varepsilon}{2}<f(X+1)-f(X)<\ell+\frac{\varepsilon}{2}).\]

Soit \(X\geq A_1\) et \(n\in\Nn^*\). On a : \[\sum_{k=0}^{n-1}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<\sum_{k=0}^{n-1}(f(X+k+1)-f(X+k))=f(X+n)-f(X)<\sum_{k=0}^{n-1}(\ell+\frac{\varepsilon}{2}),\] et on a donc montré que

\[\forall\varepsilon>0,\;\exists A_1\geq a/\;\forall X\geq A_1,\;\forall n\in\Nn^N*,\;n(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<f(X+n)-f(X)<n(\ell+\frac{\varepsilon}{2}).\]

Soit de nouveau \(\varepsilon>0\). Soit ensuite \(x\geq A_1+1\) puis \(n=E(x-A_1)\in\Nn^*\) puis \(X=x-n\).

On a \(X=x-E(x-A_1)\geq x-(x-A_1)=A_1\) et donc \(n(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<f(x)-f(x-n)<n(l+\frac{\varepsilon}{2})\) ou encore

\[\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<\frac{f(x)}{x}<\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2}).\]

Ensuite,

\[1-\frac{A_1+1}{x}=\frac{x-A_1-1}{x}\leq\frac{n}{x}=\frac{E(x-A_1)}{x}\leq\frac{x-A_1}{x}=1-\frac{A_1}{x},\] et comme \(1-\frac{A_1+1}{x}\) et \(1-\frac{A_1}{x}\) tendent vers \(1\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on en déduit que \(\frac{n}{x}\) tend vers \(1\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Puis, puisque \(f\) est continue sur le segment \([A_1,A_1+1]\), \(f\) est bornée sur ce segment. Or \(n\leq x-A_1<n+1\) s’écrit encore \(A_1\leq x-n <A_1+1\) et donc, en posant \(M=\mbox{sup}\{|f(t)|,\;t\in[A_1,A_1+1]\}\), on a \(\left|\frac{x-n)}{x}\right|\leq\frac{M}{x}\) qui tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). En résumé, \(\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})\) et \(\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})\) tendent respectivement vers \(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\) et \(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). On peut donc trouver un réel \(A_2\geq a\) tel que \(x\geq A_2\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})>(\ell-\frac{\varepsilon}{2})-\frac{\varepsilon}{2}=\ell-\varepsilon\) et un réel \(A_3\geq a\) tel que \(x\geq A_2\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})<\ell+\varepsilon\).

Soit \(A=\mbox{Max}(A_1,A_2,A_3)\) et \(x\geq A\). On a \(\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<\ell+\varepsilon\). On a montré que \(\forall\varepsilon>0,\;(\exists A\geq a/\;\forall x\geq A,\;\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<\ell+\varepsilon\) et donc \(\lim_{x\rightarrow +\infty}=\ell\).

2ème cas. Supposons \(\ell=+\infty\) (si \(\ell=-\infty\), remplacer \(f\) par \(-f\)).

Soit \(B>0\). \(\exists A_1\geq a/\;\forall X\geq A_1,\;f(X+1)-f(X)\geq 2B\).

Pour \(X\geq A_1\) et \(n\in\Nn^*\), on a : \(f(X+n)-f(X)=\sum_{k=0}^{n-1}(f(X+k+1)-f(X+k))\geq2nB\).

Soient \(x\geq1+A_1\), \(n=E(x-A_1)\) et \(X=x-n\). On a \(f(x)-f(x-n)\geq2nB\) et donc,

\[\frac{f(x)}{x}\geq\frac{f(x-n)}{x}+\frac{2nB}{x},\]

qui tend vers \(2B\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) (démarche identique au 1er cas).

Donc \(\exists A\geq A_1>a\) tel que \(x\geq A\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{2nB}{x}>B\).

Finalement : (\(\forall B>0,\;\exists A>a/\;(\forall x\geq A,\;\frac{f(x)}{x}>B\) et donc, \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\).

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