Il existe $a>0$ tel que $f$ est définie et continue sur $[a,+\infty[$ .

1er cas. Supposons que $\ell$ est réel. Soit $\varepsilon>0$ .

$\exists A_1\geq a/\;\forall X\in[a,+\infty[,\;(X\geq A_1\Rightarrow \ell-\frac{\varepsilon}{2}<f(X+1)-f(X)<\ell+\frac{\varepsilon}{2}).$

Soit $X\geq A_1$ et $n\in\Nn^*$ . On a : $\sum_{k=0}^{n-1}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<\sum_{k=0}^{n-1}(f(X+k+1)-f(X+k))=f(X+n)-f(X)<\sum_{k=0}^{n-1}(\ell+\frac{\varepsilon}{2}),$ et on a donc montré que

$\forall\varepsilon>0,\;\exists A_1\geq a/\;\forall X\geq A_1,\;\forall n\in\Nn^N*,\;n(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<f(X+n)-f(X)<n(\ell+\frac{\varepsilon}{2}).$

Soit de nouveau $\varepsilon>0$ . Soit ensuite $x\geq A_1+1$ puis $n=E(x-A_1)\in\Nn^*$ puis $X=x-n$ .

On a $X=x-E(x-A_1)\geq x-(x-A_1)=A_1$ et donc $n(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<f(x)-f(x-n)<n(l+\frac{\varepsilon}{2})$ ou encore

$\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})<\frac{f(x)}{x}<\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2}).$

Ensuite,

$1-\frac{A_1+1}{x}=\frac{x-A_1-1}{x}\leq\frac{n}{x}=\frac{E(x-A_1)}{x}\leq\frac{x-A_1}{x}=1-\frac{A_1}{x},$ et comme $1-\frac{A_1+1}{x}$ et $1-\frac{A_1}{x}$ tendent vers $1$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , on en déduit que $\frac{n}{x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Puis, puisque $f$ est continue sur le segment $[A_1,A_1+1]$ , $f$ est bornée sur ce segment. Or $n\leq x-A_1<n+1$ s’écrit encore $A_1\leq x-n <A_1+1$ et donc, en posant $M=\mbox{sup}\{|f(t)|,\;t\in[A_1,A_1+1]\}$ , on a $\left|\frac{x-n)}{x}\right|\leq\frac{M}{x}$ qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . En résumé, $\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell-\frac{\varepsilon}{2})$ et $\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})$ tendent respectivement vers $\ell-\frac{\varepsilon}{2}$ et $\ell+\frac{\varepsilon}{2}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . On peut donc trouver un réel $A_2\geq a$ tel que $x\geq A_2\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})>(\ell-\frac{\varepsilon}{2})-\frac{\varepsilon}{2}=\ell-\varepsilon$ et un réel $A_3\geq a$ tel que $x\geq A_2\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{n}{x}(\ell+\frac{\varepsilon}{2})<\ell+\varepsilon$ .

Soit $A=\mbox{Max}(A_1,A_2,A_3)$ et $x\geq A$ . On a $\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<\ell+\varepsilon$ . On a montré que $\forall\varepsilon>0,\;(\exists A\geq a/\;\forall x\geq A,\;\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<\ell+\varepsilon$ et donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}=\ell$ .

2ème cas. Supposons $\ell=+\infty$ (si $\ell=-\infty$ , remplacer $f$ par $-f$ ).

Soit $B>0$ . $\exists A_1\geq a/\;\forall X\geq A_1,\;f(X+1)-f(X)\geq 2B$ .

Pour $X\geq A_1$ et $n\in\Nn^*$ , on a : $f(X+n)-f(X)=\sum_{k=0}^{n-1}(f(X+k+1)-f(X+k))\geq2nB$ .

Soient $x\geq1+A_1$ , $n=E(x-A_1)$ et $X=x-n$ . On a $f(x)-f(x-n)\geq2nB$ et donc,

$\frac{f(x)}{x}\geq\frac{f(x-n)}{x}+\frac{2nB}{x},$

qui tend vers $2B$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (démarche identique au 1er cas).

Donc $\exists A\geq A_1>a$ tel que $x\geq A\Rightarrow\frac{f(x-n)}{x}+\frac{2nB}{x}>B$ .

Finalement : ( $\forall B>0,\;\exists A>a/\;(\forall x\geq A,\;\frac{f(x)}{x}>B$ et donc, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$ .

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