Soit \((f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},\) tel que : \(fg=gf.\) On veut montrer que \(f-g\) s’annulle par deux méthodes :
par l’absurde, utiliser le fait que \((f-g)([0,1])\) est un segment ne contenant pas 0.
par l’absurde, en examinant, si \(f-g>0\) par exemple, \(\min\{x\in [0,1]|f(x)=x\}.\)
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Le résultat subsiste-t-il si l’on remplace \([0,1]\) par \({\Rr }\) ?