Soit $a$ un réel strcitement positif. On peut déjà noter que $\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Rr\setminus\Qq}f(x)=0$ . Donc, si $f$ a une limite quand $x$ tend vers $a$ , ce ne peut être que $0$ et $f$ est donc discontinue en tout rationnel strictement positif.

$a$ désigne toujours un réel strictement positif fixé. Soit $\varepsilon>0$ .

Soit x un réel strictement positif tel que $f(x)\geq\varepsilon$ .

$x$ est nécessairement rationnel, de la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant $\frac{1}{p+q}\geq\varepsilon$ et donc

$2\leq p+q\leq\frac{1}{\varepsilon}.$

Mais il n’y a qu’un nombre fini de couples d’entiers naturels non nuls $(p,q)$ vérifiant ces inégalités et donc, il n’y a qu’un nombre fini de réels strictement positifs $x$ tels que $f(x)\geq\varepsilon$ .

Par suite, $\exists\alpha>0$ tel que aucun des réels $x$ de $]x_0-\alpha,x_0+\alpha[$ ne vérifie $f(x)\geq\varepsilon$ . Donc,

$\forall a>0,\;\forall\varepsilon> 0,\;\exists\alpha>0/\;\forall x>0,\;(0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon),$

ou encore

$\forall a>0,\;\lim_{x\rightarrow a,\;x\neq a}f(x)=0.$

Ainsi, $f$ est continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.

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