Soit \(a\) un réel strcitement positif. On peut déjà noter que \(\lim_{x\rightarrow a,\;x\in\Rr\setminus\Qq}f(x)=0\). Donc, si \(f\) a une limite quand \(x\) tend vers \(a\), ce ne peut être que \(0\) et \(f\) est donc discontinue en tout rationnel strictement positif.

\(a\) désigne toujours un réel strictement positif fixé. Soit \(\varepsilon>0\).

Soit x un réel strictement positif tel que \(f(x)\geq\varepsilon\).

\(x\) est nécessairement rationnel, de la forme \(\frac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant \(\frac{1}{p+q}\geq\varepsilon\) et donc

\[2\leq p+q\leq\frac{1}{\varepsilon}.\]

Mais il n’y a qu’un nombre fini de couples d’entiers naturels non nuls \((p,q)\) vérifiant ces inégalités et donc, il n’y a qu’un nombre fini de réels strictement positifs \(x\) tels que \(f(x)\geq\varepsilon\).

Par suite, \(\exists\alpha>0\) tel que aucun des réels \(x\) de \(]x_0-\alpha,x_0+\alpha[\) ne vérifie \(f(x)\geq\varepsilon\). Donc,

\[\forall a>0,\;\forall\varepsilon> 0,\;\exists\alpha>0/\;\forall x>0,\;(0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)|<\varepsilon),\]

ou encore

\[\forall a>0,\;\lim_{x\rightarrow a,\;x\neq a}f(x)=0.\]

Ainsi, \(f\) est continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.

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