L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 5 questions

exo7 2593

Soit ff l’endomorphisme de R4\R^4 dont la matrice dans la base canonique est A=(−8−3−31632−126710−20002).A=\begin{pmatrix}-8&-3&-3&1 \\ 6&3&2&-1 \\ 26&7&10&-2 \\ 0&0&0&2\end{pmatrix}.

1

Démontrer que 11 et 22 sont des valeurs propres de ff.

2

Déterminer les vecteurs propres de ff.

3

Soit u⃗\vec u un vecteur propre de ff pour la valeur propre 22. Trouver des vecteurs v⃗\vec v et w⃗\vec w tels que f(v⃗)=2v⃗+u⃗ et f(w⃗)=2w⃗+v⃗.f(\vec v)=2\vec v+\vec u\ {\hbox{et}}\ f(\vec w)=2\vec w+\vec v.

4

Soit e⃗\vec e un vecteur propre de ff pour la valeur propre 11. Démontrer que (e⃗,u⃗,v⃗,w⃗)(\vec e,\vec u,\vec v,\vec w) est une base de R4\R^4. Donner la matrice de ff dans cette base.

5

La matrice AA est-elle diagonalisable ?

Exercice PKNI

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