Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est \[A=\begin{pmatrix}-8&-3&-3&1 \\ 6&3&2&-1 \\ 26&7&10&-2 \\ 0&0&0&2\end{pmatrix}.\]
1
Démontrer que \(1\) et \(2\) sont des valeurs propres de \(f\).
2
Déterminer les vecteurs propres de \(f\).
3
Soit \(\vec u\) un vecteur propre de \(f\) pour la valeur propre \(2\). Trouver des vecteurs \(\vec v\) et \(\vec w\) tels que \[f(\vec v)=2\vec v+\vec u\ {\hbox{et}}\ f(\vec w)=2\vec w+\vec v.\]
4
Soit \(\vec e\) un vecteur propre de \(f\) pour la valeur propre \(1\). Démontrer que \((\vec e,\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base de \(\R^4\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.
5
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?