La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^x}$ étant décroissante sur l’intervalle $[n, n+1]$ , $\displaystyle 0 < \frac{1}{t^x} \leq \frac{1}{n^x}$ . Donc, $\begin{aligned} \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t^x} & \leq & \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{n^x} = \frac{1}{n^x} \quad \text{par positivité de l'intégrale} \end{aligned}$ puis $\int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x} = \sum_{n=1}^{N} \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t^x} \le \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \quad \text{ par la relation de Chasles.}$ De même sur $[n-1,n]$ , $\displaystyle \frac{1}{t^x} \geq \frac{1}{n^x} > 0$ et $\int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^x} \ge \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{n^x} = \frac{1}{n^x}$ $\int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} = \sum_{n=2}^{N} \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^x} \ge \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^x} \quad \text{par la relation de Chasles.}$ Finalement $1 + \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \, \cdotp$ $\begin{equation} \text{Donc, on a:} \qquad \int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x} \leq \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \leq 1 + \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} \, \cdotp \label{I} \end{equation}$ Calculons dans un premier temps, $\int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x}$ : $\int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} = \left[\frac{t^{1-x}}{1-x}\right]_{1}^{N} = \frac {N^{1-x}-1}{1-x} \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{1}{x-1}$ avec la même limite pour $\int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x}$ . Ainsi on a montré que $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n^x}$ , série de Riemann avec $x > 1$ , est convergente. On déduit alors de [I], en faisant tendre $N$ vers $+\infty$ : $\begin{array}{lrcccl} & \frac{1}{x - 1} & \leq & \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} & \leq & 1 + \frac{1}{x - 1} \\ \text{donc} \quad & \frac{x- 1}{x - 1} & \leq & (x - 1) \zeta (x) & \leq & (x - 1)\left(1 + \frac{1}{x - 1}\right) \\ \text{puis} \qquad & 1 & \leq & (x - 1) \zeta (x) & \leq & x \, . \end{array}$ D’où, par le théorème des gendarmes: $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x - 1) \zeta (x) = 1 \, .$

(Corrigé d’Antoine Poulain)

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