exo7 1935

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs, on suppose que $\displaystyle \lim(\frac{u_{n+1}}{u_n})=1$ et que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 - \frac{\alpha}{n} + O(\frac{1}{n^{\beta}}) \mbox{ , où } \alpha > 0 \ \ \beta > 1.$$ On pose $v_n=n^{\alpha}u_n$. Etudier $\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}$ et montrer que $(v_n)$ a une limite finie.  Application : Etudier la série de terme général $$u_n = \sqrt{n!} \sin 1 \sin \frac{1}{\sqrt{2}} \cdots \sin \frac{1}{\sqrt{n}} .$$