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Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que \(\displaystyle \lim(\frac{u_{n+1}}{u_n})=1\) et que \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 - \frac{\alpha}{n} + O(\frac{1}{n^{\beta}}) \mbox{ , où } \alpha > 0 \ \ \beta > 1.\] On pose \(v_n=n^{\alpha}u_n\). Etudier \(\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}\) et montrer que \((v_n)\) a une limite finie. Application : Etudier la série de terme général \[u_n = \sqrt{n!} \sin 1 \sin \frac{1}{\sqrt{2}} \cdots \sin \frac{1}{\sqrt{n}} .\]