Une équation de $(\mathcal{S})$ est encore $xy+yz+zx-\lambda x-\lambda y-\lambda z+\lambda=0$ .

La matrice de la forme quadratique $Q~:~(x,y,z)\mapsto xy+yz+zx$ dans la base $(i,j,k)$ est $A= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{array} \right)$ est les valeurs propres de cette matrice sont $- \frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{2}$ et $1$ . Le rang de $Q$ est $3$ et sa signature est $(1,2)$ . La surface $(\mathcal{S})$ est à priori soit un hyperboloïde, soit un cône du second degré. Donc $(\mathcal{S})$ est un cône du second degré si et seulement si son (unique) centre de symétrie qui est aussi l’unique point critique de la fonction $f~:~(x,y,z)\mapsto x(\lambda-y)+y(\lambda-z)+z(\lambda-x)-\lambda$ appartient à $(\mathcal{S})$ .

Point critique.

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=0\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=\lambda\\ z+x=\lambda\\ x+y=\lambda \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=z= \frac{\lambda}{2}$ .

On note alors $\Omega$ le point de coordonnées $\left( \frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}\right)$ .

$(\mathcal{S})$ est un cône $\Leftrightarrow\Omega\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow \frac{3\lambda^2}{4}-\lambda =0\Leftrightarrow\lambda\in\left\{0, \frac{4}{3}\right\}$ .

Si $\lambda=0$ , $(\mathcal{S})$ admet pour équation $xy+yz+zx = 0$ . Dans le repère $(O,X,Y,Z)$ où $X=/dfrac{1}{\sqrt{2}}(x-y)$ , $Y = \frac{1}{\sqrt{6}}(x+y-2z)$ et $Z = \frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z)$ , $(\mathcal{S})$ admet pour équation cartésienne $- \frac{1}{2}X^2- \frac{1}{2}Y^2+ \frac{1}{2}Z^2 = 0$ ou encore $(\mathcal{S})$ est le cône de révolution de sommet $O$ et de section droite le cercle d’équations $\left\{ \begin{array}{l} Z=1\\ X^2+Y^2+Z^2=3 \end{array} \right.$ dans $(O,X,Y,Z)$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=\sqrt{3}\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{array} \right.$ dans $(O,x,y,z)$ .

Puisque $(\mathcal{S})$ est un cône de révolution de sommet $O$ et d’axe la droite d’équations $x=y=z$ , il est plus interessant de fournir le demi angle au sommet $\theta$ . Le point $A(1,1,1)$ est sur l’axe et le point $M(2,2-1)$ est sur le cône. Donc $\theta=\Arccos\left( \frac{\left|\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\right|}{OA\times OM}\right)=\Arccos\left( \frac{3}{3\sqrt{3}}\right)=\Arccos\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ .

Si $\lambda= \frac{4}{3}$ , $(\mathcal{S})$ admet pour équation $xy+yz+zx- \frac{4}{3}(x+y+z) + \frac{4}{3}= 0$ dans $(O,i,j,k)$ ou encore $XY+XZ+YZ = 0$ dans $(\Omega,i,j,k)$ ce qui ramène au cas précédent.

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