Une équation de \((\mathcal{S})\) est encore \(xy+yz+zx-\lambda x-\lambda y-\lambda z+\lambda=0\).

La matrice de la forme quadratique \(Q~:~(x,y,z)\mapsto xy+yz+zx\) dans la base \((i,j,k)\) est \(A= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{array} \right)\) est les valeurs propres de cette matrice sont \(- \frac{1}{2}\), \(- \frac{1}{2}\) et \(1\). Le rang de \(Q\) est \(3\) et sa signature est \((1,2)\). La surface \((\mathcal{S})\) est à priori soit un hyperboloïde, soit un cône du second degré. Donc \((\mathcal{S})\) est un cône du second degré si et seulement si son (unique) centre de symétrie qui est aussi l’unique point critique de la fonction \(f~:~(x,y,z)\mapsto x(\lambda-y)+y(\lambda-z)+z(\lambda-x)-\lambda\) appartient à \((\mathcal{S})\).

Point critique.

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=0\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=\lambda\\ z+x=\lambda\\ x+y=\lambda \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=z= \frac{\lambda}{2}\).

On note alors \(\Omega\) le point de coordonnées \(\left( \frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}\right)\).

\((\mathcal{S})\) est un cône \(\Leftrightarrow\Omega\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow \frac{3\lambda^2}{4}-\lambda =0\Leftrightarrow\lambda\in\left\{0, \frac{4}{3}\right\}\).

Si \(\lambda=0\), \((\mathcal{S})\) admet pour équation \(xy+yz+zx = 0\). Dans le repère \((O,X,Y,Z)\) où \(X=/dfrac{1}{\sqrt{2}}(x-y)\), \(Y = \frac{1}{\sqrt{6}}(x+y-2z)\) et \(Z = \frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z)\), \((\mathcal{S})\) admet pour équation cartésienne \(- \frac{1}{2}X^2- \frac{1}{2}Y^2+ \frac{1}{2}Z^2 = 0\) ou encore \((\mathcal{S})\) est le cône de révolution de sommet \(O\) et de section droite le cercle d’équations \(\left\{ \begin{array}{l} Z=1\\ X^2+Y^2+Z^2=3 \end{array} \right.\) dans \((O,X,Y,Z)\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=\sqrt{3}\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{array} \right.\) dans \((O,x,y,z)\).

Puisque \((\mathcal{S})\) est un cône de révolution de sommet \(O\) et d’axe la droite d’équations \(x=y=z\), il est plus interessant de fournir le demi angle au sommet \(\theta\). Le point \(A(1,1,1)\) est sur l’axe et le point \(M(2,2-1)\) est sur le cône. Donc \(\theta=\Arccos\left( \frac{\left|\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\right|}{OA\times OM}\right)=\Arccos\left( \frac{3}{3\sqrt{3}}\right)=\Arccos\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).

Si \(\lambda= \frac{4}{3}\), \((\mathcal{S})\) admet pour équation \(xy+yz+zx- \frac{4}{3}(x+y+z) + \frac{4}{3}= 0\) dans \((O,i,j,k)\) ou encore \(XY+XZ+YZ = 0\) dans \((\Omega,i,j,k)\) ce qui ramène au cas précédent.

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