Soit \((A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})\) un pentagone régulier. On note \(O\) son centre et on choisit un repère orthonormé \((O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) avec \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA_{0}}\), qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes \(\Cc\).
\[
\]
Donner les affixes \(\omega_{0},\ldots,\omega_{4}\) des points \(A_{0},\ldots,A_{4}\). Montrer que \(\omega_{k}={\omega_{1}}^k\) pour \(k\in\{0,1,2,3,4\}\). Montrer que \(1+\omega_{1}+\omega_{1}^2+\omega_{1}^3+\omega_{1}^4=0\).
En déduire que \(\cos(\frac{2\pi}{5})\) est l’une des solutions de l’équation \(4z^2+2z-1=0\). En déduire la valeur de \(\cos(\frac{2\pi}{5})\).
On considère le point \(B\) d’affixe \(-1\). Calculer la longueur \(BA_{2}\) en fonction de \(\sin\frac{\pi}{10}\) puis de \(\sqrt{5}\) (on remarquera que \(\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}\)).
On considère le point \(I\) d’affixe \(\frac{i}{2}\), le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(I\) de rayon \(\frac{1}{2}\) et enfin le point \(J\) d’intersection de \(\mathcal{C}\) avec le segment \([BI]\). Calculer la longueur \(BI\) puis la longueur \(BJ\).
Application: Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.