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Donner les affixes $\omega_{0},\ldots,\omega_{4}$ des points $A_{0},\ldots,A_{4}$. Montrer que $\omega_{k}={\omega_{1}}^k$ pour $k\in\{0,1,2,3,4\}$. Montrer que $1+\omega_{1}+\omega_{1}^2+\omega_{1}^3+\omega_{1}^4=0$.

En déduire que $\cos(\frac{2\pi}{5})$ est l’une des solutions de l’équation $4z^2+2z-1=0$. En déduire la valeur de $\cos(\frac{2\pi}{5})$.

On considère le point $B$ d’affixe $-1$. Calculer la longueur $BA_{2}$ en fonction de $\sin\frac{\pi}{10}$ puis de $\sqrt{5}$ (on remarquera que $\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}$).

On considère le point $I$ d’affixe $\frac{i}{2}$, le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I$ de rayon $\frac{1}{2}$ et enfin le point $J$ d’intersection de $\mathcal{C}$ avec le segment $[BI]$. Calculer la longueur $BI$ puis la longueur $BJ$.

Application: Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.