Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\). Les centres respectifs de ces carrés sont notés \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\).
1
Montrer que dans le carré construit sur \([AB]\), on a \(p=\frac{a-ib}{1-i}\). Démontrer des relations analogues pour les autres carrés.
2
Montrer le théorème de Van Aubel : \(PQRS\) est un pseudo-carré, c’est-à-dire que ses diagonales sont de même longueur et se croisent à angle droit. Pour cela, calculer \(\frac{s-q}{r-p}\).
3
(Théorème de Thébault) Dans le cas particulier où \(ABCD\) est un parallélogramme, montrer que \(PQRS\) est un carré.