L1 Algèbre Nombres complexes Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

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Soit ABCDABCD un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés [AB][AB], [BC][BC], [CD][CD] et [DA][DA]. Les centres respectifs de ces carrés sont notés PP, QQ, RR et SS.

1

Montrer que dans le carré construit sur [AB][AB], on a p=a−ib1−ip=\frac{a-ib}{1-i}. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés.

2

Montrer le théorème de Van Aubel : PQRSPQRS est un pseudo-carré, c’est-à-dire que ses diagonales sont de même longueur et se croisent à angle droit. Pour cela, calculer s−qr−p\frac{s-q}{r-p}.

3

(Théorème de Thébault) Dans le cas particulier où ABCDABCD est un parallélogramme, montrer que PQRSPQRS est un carré.

Exercice AaAL

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