Soit \(z\in\C\). On a les équivalences suivantes : \[\begin{align*} z^6+(7-i)z^3-8-8i=0 &\Leftrightarrow z^3\text{ est solution de }Z^2+(7-i)Z-8-8i=0\\ \intertext{ Etudions l'équation $Z^2+(7-i)Z-8-8i=0$. $\Delta=(7-i)^2+4(8+8i)=80+18i=(9+i)^2$. Les solutions sont donc $-8$ et $1+i$. Nous pouvons reprendre notre suite d'équivalences : } z^6+(7-i)z^3-8-8i=0 &\Leftrightarrow z^3\in\{-8,1+i\} \\ &\Leftrightarrow z^3=(-2)^3 \quad\text{ ou }\quad z^3=(\sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}})^3\\ &\Leftrightarrow z\in\{-2, -2e^{\frac{2i\pi}{3}}, -2e^{-\frac{2i\pi}{3}}\} \text{ ou } z\in\{\sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{9\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}\\ &\Leftrightarrow z\in\{-2, 2e^{\frac{i\pi}{3}}, 2e^{-\frac{i\pi}{3}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}. \end{align*}\] L’ensemble des solutions est donc : \[\{-2, 2e^{\frac{i\pi}{3}}, 2e^{-\frac{i\pi}{3}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}.\]

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