Calcul de racine $n$ -ième. Soit $z\in\Cc$ tel que $z^n=1$ , déjà $|z|^n=1$ et donc $|z|=1$ . Écrivons $z = e^{i\theta}$ . L’équation devient $e^{in\theta} = e^{0} =1 \Leftrightarrow n\theta = 0 + 2k\pi, \ k\in \Zz \Leftrightarrow \theta = \frac{2k\pi}{n}, \ k\in \Zz.$ Les solution sont donc $\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k\in \Zz\right\rbrace.$ Comme le polynôme $z^n-1$ est de degré $n$ il a au plus $n$ racines. Nous choisissons pour représentants : $\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.$ De plus si $\epsilon = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ alors $\mathcal{S} = \left\lbrace \epsilon^k, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.$ Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Soit $P(z) = \sum_{k=0}^{n-1}z^k=\frac{1-z^{n}}{1-z}$ pour $z\not=1$ . Donc quelque soit $z\in\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}$ $P(z) = 0$ , nous avons ainsi trouver $n-1$ racines pour $P$ de degré $n-1$ , donc l’ensemble des racines de $P$ est exactement $\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}$ .

Pour conclure soit $Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1}\epsilon^{kp}$ .
Si $p = 0 +\ell n$ , $\ell \in \Zz$ alors $\epsilon^{kp}=\epsilon^{k\ell n}=(\epsilon^n)^{k \ell} =1^{k \ell}=1$ . Donc $Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 = n$ .
Sinon $Q_p(z)$ est la somme d’une suite géométrique de raison $\epsilon^p$ : $Q_p(z) = \frac{1-\left( \epsilon^p \right)^n}{1-\epsilon^p} = \frac{1-\left( \epsilon^n \right)^p}{1-\epsilon^p} = \frac{1-1}{1-\epsilon^p}=0.$

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