Calcul de racine \(n\)-ième. Soit \(z\in\Cc\) tel que \(z^n=1\), déjà \(|z|^n=1\) et donc \(|z|=1\). Écrivons \(z = e^{i\theta}\). L’équation devient \[e^{in\theta} = e^{0} =1 \Leftrightarrow n\theta = 0 + 2k\pi, \ k\in \Zz \Leftrightarrow \theta = \frac{2k\pi}{n}, \ k\in \Zz.\] Les solution sont donc \[\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k\in \Zz\right\rbrace.\] Comme le polynôme \(z^n-1\) est de degré \(n\) il a au plus \(n\) racines. Nous choisissons pour représentants : \[\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.\] De plus si \(\epsilon = e^{\frac{2i\pi}{n}}\) alors \(\mathcal{S} = \left\lbrace \epsilon^k, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.\) Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité.

Soit \(P(z) = \sum_{k=0}^{n-1}z^k=\frac{1-z^{n}}{1-z}\) pour \(z\not=1\). Donc quelque soit \(z\in\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}\) \(P(z) = 0\), nous avons ainsi trouver \(n-1\) racines pour \(P\) de degré \(n-1\), donc l’ensemble des racines de \(P\) est exactement \(\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}\).

Pour conclure soit \(Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1}\epsilon^{kp}\).
Si \(p = 0 +\ell n\), \(\ell \in \Zz\) alors \(\epsilon^{kp}=\epsilon^{k\ell n}=(\epsilon^n)^{k \ell} =1^{k \ell}=1\). Donc \(Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 = n\).
Sinon \(Q_p(z)\) est la somme d’une suite géométrique de raison \(\epsilon^p\) : \[Q_p(z) = \frac{1-\left( \epsilon^p \right)^n}{1-\epsilon^p} = \frac{1-\left( \epsilon^n \right)^p}{1-\epsilon^p} = \frac{1-1}{1-\epsilon^p}=0.\]

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