Pour $n$ naturel non nul, on pose $S_n=\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}$ . $S_1=e^{ia_1}+e^{-ia_1}=2\cos a_1$ Soit $n\geq1$ . Supposons que $S_n=2^n\cos a_1...\cos a_n$ alors

$\begin{align*} S_{n+1}&=\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_{n+1})}=e^{ia_{n+1}}\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}+e^{-ia_{n+1}}\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}\\ &=2\cos(a_{n+1})S_n=2^{n+1}\cos a_1...\cos a_{n+1}. \end{align*}$ On a montré par récurrence que : $\forall n\geq1,\;S_n=2^n\cos a_1...\cos a_n$ . Ensuite, pour $n\geq1$ , $\sum_{}^{}\cos(\pm a_1\pm...\pm a_n)=\Re(S_n)=2^n\cos a_1...\cos a_n$ (et on obtient aussi $\sum_{}^{}\sin(\pm a_1\pm...\pm a_n)=\Im(S_n)=0$ ).

$\forall n\in\Nn^*$ , $\sum_{}^{}\cos(\pm a_1\pm...\pm a_n)=2^n\cos a_1...\cos a_n$ .

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