Soit $n\in\Nn^*$ . Puisque, pour tout entier $k$ , $|\cos k\;|\in[0,1]$ , on a alors

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}|\cos k\;|&\geq\sum_{k=1}^{n}\cos^2k=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(1+\cos(2k))=\frac{n}{2}+\frac{1}{2} \Re(\sum_{k=1}^{n}e^{2ik}) =\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{2i}\frac{1-e^{2in}}{1-e^{2i}})\\ &=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{i(n-1+2)} \frac{\sin n}{\sin 1}) =\frac{n}{2}+\frac{\cos(n+1)\sin n}{2\sin 1}\geq\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}. \end{align*}$

Maintenant, $\frac{1}{2\sin1}=0,594...$ . Par suite, pour $n\geq3$ , $\frac{1}{2\sin1}\leq0,75=\frac{3}{4}\leq\frac{n}{4}$ , et donc

$\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}\geq\frac{n}{2}-\frac{n}{4}=\frac{n}{4}.$

Enfin, si $n=1$ , $|\cos1|=0.5...\geq0.25=\frac{1}{4}$ et si $n=2$ , $|\cos1|+|\cos2|=0.9...\geq0.5=\frac{2}{4}$ . Finalement,

$\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}.$

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