Racines carrées. Soit $z= a+ib$ un nombre complexe avec $a,b \in \Rr$ ; nous cherchons les complexes $\omega \in \Cc$ tels que $\omega^2 = z$ . Écrivons $\omega = \alpha + i \beta$ . Nous raisonnons par équivalence : $\begin{align*} \omega^2 = z & \Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = a+ib \\ & \Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = a +i b \\ \intertext{Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Sans changer l'équivalence nous rajoutons la condition $|\omega|^2 = |z|$.} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{a^2+b^2} \\ \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Par somme et différence des deux premières lignes :} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 =\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ \beta^2 = \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \beta = \pm \sqrt{ \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \alpha\beta \text{ est du même signe que } b \end{cases} \\ \end{align*}$ Cela donne deux couples $(\alpha,\beta)$ de solutions et donc deux racines carrées (opposées) $\omega = \alpha + i\beta$ de $z$ .

En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour $z = 8-6i$ , $\begin{align*} \omega^2 = z &\Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = 8\\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{8^2+(-6)^2} = 10 \text{ le module de $z$} \\ \alpha^2-\beta^2 = 8 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2\alpha^2 =18 \\ \beta^2 = 1 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \beta = \pm 1 \\ \alpha \text{ et } \beta \text{ de signes opposés} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \ \ & \alpha = 3 \text{ et } \beta = - 1\\ \text{ou}&\\ \ \ &\alpha = -3 \text{ et } \beta = +1 \\ \end{cases} \\ \end{align*}$

Les racines de $z = 8-6i$ sont donc $\omega_1 = 3-i$ et $\omega_2 = -\omega_1 = -3+i$ .

Pour les autres :

Les racines carrées de $1$ sont : $+1$ et $-1$ .
Les racines carrées de $i$ sont : $\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)$ et $-\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)$ .
Les racines carrées de $3+4i$ sont : $2+i$ et $-2-i$ .
Les racines carrées de $7+24i$ sont : $4+3i$ et $-4-3i$ .

exo7 27