$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \cos a+\cos b+\cos c=0\\ \sin a+\sin b+\sin c=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow(\cos a+\cos b+\cos c)+i(\sin a+\sin b+\sin c)=0\Leftrightarrow e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0\\ &\Rightarrow|e^{ia}+e^{ib}|=|-e^{ic}|=1\Leftrightarrow|e^{ia/2}e^{ib/2}(e^{i(a-b)/2}+e^{-i(a-b)/2})|=1\\ &\Leftrightarrow|\cos\frac{a-b}{2}|=\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi\Zz\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow a-b\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\cup\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz,\;\exists\varepsilon\in\{-1,1\}/\;b=a+\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k\pi. \end{align*}$

Par suite, nécessairement, $e^{ib}=je^{ia}$ ou $e^{ib}=j^2e^{ia}$ . Réciproquement, si $e^{ib}=je^{ia}$ ou encore $b=a+\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ,

$\begin{align*} e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0 &\Leftrightarrow e^{ic}=-(e^{ia}+e^{ib})=-(1+j)e^{ia}=j^2e^{ia} \\ &\Leftrightarrow \exists k'\in\Zz/\;c=a-\frac{2\pi}{3}+2k'\pi, \end{align*}$

et si $e^{ib}=j^2e^{ia}$ ou encore $b=a-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ,

$\begin{align*} e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0 &\Leftrightarrow e^{ic}=-(e^{ia}+e^{ib})=-(1+j^2)e^{ia}=je^{ia} \\ &\Leftrightarrow \exists k'\in\Zz/\;c=a+\frac{2\pi}{3}+2k'\pi. \end{align*}$

$\mathcal{S}=\{(a,a+\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k\pi,a-\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k'\pi),\;a\in\Rr,\; \varepsilon\in\{-1,1\},\;(k,k')\in\Zz^2\}.$

exo7 5081