D’après la formule de Moivre pour \(e^{i\alpha}\) nous avons : \[e^{e^{i\alpha}} = e^{\cos \alpha + i\sin \alpha} = e^{\cos \alpha}e^{i\sin \alpha}.\] Or \(e^{\cos \alpha} > 0\) donc l’écriture précédente est bien de la forme “module-argument”.

De façon générale pour calculer une somme du type \(e^{iu}+e^{iv}\) il est souvent utile de factoriser par \(e^{i\frac{u+v}{2}}\). En effet \[\begin{align*} e^{iu}+e^{iv} &= e^{i\frac{u+v}{2}}\left( e^{i \frac{u-v}{2}}+ e^{-i \frac{u-v}{2}}\right) \\ &= e^{i\frac{u+v}{2}} 2 \cos \frac{u-v}{2} \\ &= 2 \cos \frac{u-v}{2} e^{i\frac{u+v}{2}}.\\ \end{align*}\] Ce qui est proche de l’écriture en coordonées polaires.

Pour le cas qui nous concerne : \[z = e^{i\theta} + e^{2i\theta} = e^{\frac{3i\theta}{2}} \left[ e^{-\frac{i\theta}{2}} + e^{\frac{i\theta}{2}} \right] = 2\cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{3i\theta}{2}}.\] Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si \(\cos \frac{\theta}{2} \geq 0\) alors \(2\cos\frac{\theta}{2}\) est le module de \(z\) et \(3\theta/2\) est son argument ; par contre si \(\cos \frac{\theta}{2} < 0\) le module est \(2|\cos\frac{\theta}{2}|\) et l’argument \(3\theta/2+\pi\) (le \(+\pi\) compense le changement de signe car \(e^{i\pi} = -1\)).

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