D’après la formule de Moivre pour $e^{i\alpha}$ nous avons : $e^{e^{i\alpha}} = e^{\cos \alpha + i\sin \alpha} = e^{\cos \alpha}e^{i\sin \alpha}.$ Or $e^{\cos \alpha} > 0$ donc l’écriture précédente est bien de la forme “module-argument”.

De façon générale pour calculer une somme du type $e^{iu}+e^{iv}$ il est souvent utile de factoriser par $e^{i\frac{u+v}{2}}$ . En effet $\begin{align*} e^{iu}+e^{iv} &= e^{i\frac{u+v}{2}}\left( e^{i \frac{u-v}{2}}+ e^{-i \frac{u-v}{2}}\right) \\ &= e^{i\frac{u+v}{2}} 2 \cos \frac{u-v}{2} \\ &= 2 \cos \frac{u-v}{2} e^{i\frac{u+v}{2}}.\\ \end{align*}$ Ce qui est proche de l’écriture en coordonées polaires.

Pour le cas qui nous concerne : $z = e^{i\theta} + e^{2i\theta} = e^{\frac{3i\theta}{2}} \left[ e^{-\frac{i\theta}{2}} + e^{\frac{i\theta}{2}} \right] = 2\cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{3i\theta}{2}}.$ Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si $\cos \frac{\theta}{2} \geq 0$ alors $2\cos\frac{\theta}{2}$ est le module de $z$ et $3\theta/2$ est son argument ; par contre si $\cos \frac{\theta}{2} < 0$ le module est $2|\cos\frac{\theta}{2}|$ et l’argument $3\theta/2+\pi$ (le $+\pi$ compense le changement de signe car $e^{i\pi} = -1$ ).

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