\(z_2 = 3e^{-i\frac \pi 8} = 3\cos {\pi \over 8}-3i\sin{\pi \over8}={3\sqrt{2+\sqrt2}\over 2}-{3i\sqrt{2-\sqrt2}\over 2}\).

Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé \(\cos \frac \pi 8\) et \(\sin \frac\pi 8\): posons \(\theta=\frac{\pi}{8}\), alors \(2\theta = \frac \pi 4\) et donc \(\cos(2\theta)= \frac {\sqrt 2}{2} = \sin(2\theta)\). Mais \(\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1\). Donc \(\cos^2\theta = \frac{\cos(2\theta) + 1}{2} = \frac 14 (2 + \sqrt 2)\). Et ensuite \(\sin^2 \theta = 1- \cos^2 \theta = \frac 14 (2 - \sqrt 2)\). Comme \(0 \le \theta = \frac \pi 8 \le \frac \pi 2\), \(\cos \theta\) et \(\sin \theta\) sont des nombres positifs. Donc \[\cos \frac \pi 8 = \frac 12 \sqrt{2 + \sqrt 2} \quad, \quad \sin \frac \pi 8 = \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt 2}.\]

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