Remarquons d’abord que pour \(z \in \Cc\), \(z \overline{z} = |z|^2\) est un nombre réel, ce qui fait qu’en multipliant le dénominateur par son conjugué nous obtenons un nombre réel.

\[\frac{3+6i}{3-4i} = \frac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{9-24+12i+18i}{9+16} = \frac{-15+30i}{25} = -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i.\]

Calculons \[\frac{1+i}{2-i} = \frac{(1+i)(2+i)}{5} = \frac{1+3i}{5},\] et \[\left( \frac{1+i}{2-i} \right)^2 = \left( \frac{1+3i}{5} \right)^2 = \frac{-8+6i}{25}= -\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i.\]

Donc \[\left( \frac{1+i}{2-i} \right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i} = -\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i =-\frac{23}{25}+\frac{36}{25}i.\]

Soit \(z = \frac{2+5i}{1-i}\). Calculons \(z + \overline{z}\), nous savons déjà que c’est un nombre réel, plus précisément : \(z = -\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i\) et donc \(z + \overline{z} = -3\).

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