Soient \(x\in\Rr\) et \(z=\frac{1+ix}{1-ix}\). Puisque \(1-ix\neq0\), \(z\) est bien défini et \(|z|=\frac{|1+ix|}{|1-ix|}=\frac{|1+ix|}{|\overline{1+ix}|}=1\). Enfin, \(z=\frac{-1+ix+2}{1-ix}=-1+\frac{2}{1-ix}\neq-1\). On a montré que : \[\forall x\in\Rr,\;\frac{1+ix}{1-ix}\in U\setminus\{-1\}.\] Réciproquement, soit \(z\in U\setminus\{-1\}\). Il existe un réel \(\theta\notin\pi+2\pi\Zz\) tel que \(z=e^{i\theta}\). Mais alors,

\[z=e^{i\theta}=\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}=\frac{\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{\cos\frac{\theta}{2}(1+i\tan\frac{\theta}{2})} {\cos\frac{\theta}{2}(1-i\tan\frac{\theta}{2})}=\frac{1+i\tan\frac{\theta}{2}} {1-i\tan\frac{\theta}{2}}\;(\cos\frac{\theta}{2}\neq0\;\mbox{car}\;\frac{\theta}{2}\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\] et \(z\) est bien sous la forme voulue avec \(x=\tan\frac{\theta}{2}\).

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