Soient $x\in\Rr$ et $z=\frac{1+ix}{1-ix}$ . Puisque $1-ix\neq0$ , $z$ est bien défini et $|z|=\frac{|1+ix|}{|1-ix|}=\frac{|1+ix|}{|\overline{1+ix}|}=1$ . Enfin, $z=\frac{-1+ix+2}{1-ix}=-1+\frac{2}{1-ix}\neq-1$ . On a montré que : $\forall x\in\Rr,\;\frac{1+ix}{1-ix}\in U\setminus\{-1\}.$ Réciproquement, soit $z\in U\setminus\{-1\}$ . Il existe un réel $\theta\notin\pi+2\pi\Zz$ tel que $z=e^{i\theta}$ . Mais alors,

$\begin{align*} z &= e^{i\theta} \\ &= \frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}} \\ &= \frac{\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}} \\ &= \frac{\cos\frac{\theta}{2}(1+i\tan\frac{\theta}{2})} {\cos\frac{\theta}{2}(1-i\tan\frac{\theta}{2})} \\ &= \frac{1+i\tan\frac{\theta}{2}} {1-i\tan\frac{\theta}{2}}\;(\cos\frac{\theta}{2}\neq0\;\mbox{car}\;\frac{\theta}{2}\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz), \end{align*}$ et $z$ est bien sous la forme voulue avec $x=\tan\frac{\theta}{2}$ .

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