D’abord on a $1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$ . Les racines carrées de $1+i$ dans $\Cc$ sont donc $\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}$ et $-\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}$ . On a aussi, pour $(x,y)\in\Rr^2$ , $\begin{align*} (x+iy)^2=1+i&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2=1\\ x^2+y^2=\sqrt{2}\\ xy>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}x^2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)\\ y^2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)\\ xy>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow (x,y)\in\left\{\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}},\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)\right\}. \end{align*}$ Les racines carrées de $1+i$ sont donc aussi $\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$ . Puisque $\Re(e^{i\pi/8})=\cos\frac{\pi}{8}>0$ , on obtient $\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ , ou encore

$e^{i\pi/8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}\right)$ et donc, par identification des parties réelles et imaginaires,

$\cos\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;\sin\frac{\pi}{8} =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}.$

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