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Soit $s$ l’application du plan dans lui-même qui envoie un point d’affixe $z$ sur celui d’affixe $$\frac23 iz +\frac13-\frac53 i.$$ Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s$.

On note $B_0=B$ et pour tout $n\in \N$, on note $B_{n+1} = s(B_n)$.

Calculer la distance $AB_{n+1}$ en fonction de $AB_n$.

Déterminer le plus petit entier $N$ vérifiant la propriété suivante : pour tout $n\geq N$, le point $B_n$ appartient au disque de centre $A$ et de rayon $10^{-2}$. On demande une formule exacte pour cet entier mais pas son écriture explicite en base $10$.

Déterminer l’ensemble des entiers $n$ tels que les points $A$, $B$ et $B_n$ soient alignés.