Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes \(z_A=1-i\) et \(z_B = 7+\frac72 i\).
Soit \(s\) l’application du plan dans lui-même qui envoie un point d’affixe \(z\) sur celui d’affixe \[\frac23 iz +\frac13-\frac53 i.\] Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(s\).
On note \(B_0=B\) et pour tout \(n\in \N\), on note \(B_{n+1} = s(B_n)\).
Calculer la distance \(AB_{n+1}\) en fonction de \(AB_n\).
Déterminer le plus petit entier \(N\) vérifiant la propriété suivante : pour tout \(n\geq N\), le point \(B_n\) appartient au disque de centre \(A\) et de rayon \(10^{-2}\). On demande une formule exacte pour cet entier mais pas son écriture explicite en base \(10\).
Déterminer l’ensemble des entiers \(n\) tels que les points \(A\), \(B\) et \(B_n\) soient alignés.