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On veut calculer $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\sin\frac{2\pi}{5}$ . Pour cela, on pose $a=2\cos\frac{2\pi}{5}$ , $b=2\cos\frac{4\pi}{5}$ et $z=e^{2i\pi/5}$ .

Vérifier que $a=z+z^4$ et $b=z^2+z^3$ .

Vérifier que $1+z+z^2+z^3+z^4=0$ .

En déduire un polynôme de degré $2$ dont les racines sont $a$ et $b$ puis les valeurs exactes de $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\sin\frac{2\pi}{5}$ .

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