Soit $n\geq2$ . On a

$a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2i}(e^{ik\pi/n}-e^{-ik\pi/n})=\frac{1}{(2i)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n}).$

Maintenant,

$\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}=e^{\frac{i\pi}{n}(1+2+...+(n-1))}=e^{i\pi(n-1)/2}(e^{i\pi/2})^{n-1}=i^{n-1},$

et donc $\frac{1}{(2i)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}=\frac{1}{2^{n-1}}$ .

Il reste à calculer $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})$ .

1ère solution. Les $e^{-2ik\pi/n}$ , $1\leq k\leq n-1$ , sont les $n-1$ racines $n$ -ièmes de $1$ distinctes de $1$ et puisque $X^n-1=(X-1)(1+X+...+X^{n-1})$ , ce sont donc les $n-1$ racines deux deux distinctes du polynôme $1+X+...+X^{n-1}$ . Par suite, $1+X+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{-2ik\pi/n})$ , et en particulier $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})=1+1...+1=n$ .
2ème solution. Pour $1\leq k\leq n-1$ , posons $z_k=1-e^{-2ik\pi/n}$ . Les $z_k$ sont deux à deux distincts et racines du polynôme $P=(1-X)^n-1=-X+...+(-1)^nX^n=X(-n+X-...+(-1)^nX^{n-1})$ . Maintenant, $z_k=0\Leftrightarrow e^{-2ik\pi/n}=1\leq k\in n\Zz$ (ce qui n’est pas pour $1\leq k\leq n-1$ ). Donc, les $z_k$ , $1\leq k\leq n-1$ , sont $n-1$ racines deux à deux distinctes du polynôme de degré $n-1$ : $-n+X-...+(-1)^nX^{n-1}$ . Ce sont ainsi toutes les racines de ce polynôme ou encore

$-n+X-...+(-1)^nX^{n-1}=(-1)^n\prod_{k=1}^{n-1}(X-z_k).$

En particulier, en égalant les coefficients constants,

$(-1)^n.(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}z_k=-n,$

et donc encore une fois $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})=n$ .

Finalement,

$\forall n\geq2,\;\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$ Soit $n$ un entier naturel non nul.

$b_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(e^{i(a+\frac{k\pi}{n})}+e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})})=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n}e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})}\prod_{k=1}^{n}(e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}+1).$

Ensuite,

$\prod_{k=1}^{n}e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})}=e^{-ina}e^{-\frac{i\pi}{n}(1+2+...+n)}=e^{-ina}e^{-i(n+1)\pi/2}.$

D’autre part, soit $P=\prod_{k=1}^{n}(X+e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})})=\prod_{k=1}^{n}(X-(-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}))$ . Pour tout $k$ , on a $(-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n}})^n=(-1)^ne^{2ina}$ . Par suite, les $n$ nombres deux à deux distincts $-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n}}$ , $1\leq k\leq n$ sont racines du polynôme $X^n-(-1)^ne^{2ina}$ , de degré $n$ . On en déduit que, $P=X^n-(-1)^ne^{2ina}$ .

Par suite, $\prod_{k=1}^{n}(e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}+1)=P(1)=1-(-1)^ne^{2ina}=1-e^{2ina+n\pi}$ , puis

$\begin{align*}\ensuremath b_n&=\frac{1}{2^n}e^{-ina}e^{-i(n+1)\pi/2}(1-e^{2ina+n\pi})=\frac{1}{2^n}(e^{-i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}-e^{i(na+(n-1)\frac{\pi}{2})})\\ &=\frac{1}{2^n}(e^{-i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}+e^{i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})})=\frac{\cos(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}{2^{n-1}}. \end{align*}$ $\begin{align*}\ensuremath c_n\;\mbox{est défini}\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;a+\frac{k\pi}{n}\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow\forall k\in\Nn,\;a-\frac{k\pi}{n}+\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow a\notin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{n}\Zz \end{align*}$

Pour les $a$ tels que $c_n$ est défini, on a $c_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{i}\frac{e^{2i(a+k\pi/n)}-1}{e^{2i(a+k\pi/n)}+1}$ .

Pour $1\leq k\leq n$ , posons $\omega_k=e^{2i(a+k\pi/n)}$ puis $z_k=\frac{\omega_k-1}{\omega_k+1}$ . On a donc $c_n=\frac{1}{i^n}\prod_{k=1}^{n}z_k$ .

Puisque $z_k=\frac{\omega_k-1}{\omega_k+1}$ , on a $\omega_k(1-z_k)=1+z_k$ et donc, pour $1\leq k\leq n$ , $\omega_k^n(1-z_k)^n=(1+z_k)^n$ ou encore, les $z_k$ sont racines du polynôme $P=(1+X)^n-e^{2ina}(1-X)^n$ . Maintenant, les $a+\frac{k\pi}{n}$ sont dans $[a,a+\pi[$ et donc deux à deux distincts puisque la fonction tangente est injective sur tout intervalle de cette forme.

1er cas. Si $e^{2ina}\neq(-1)^n$ alors $P$ est de degré $n$ et $P=(1-(-1)^ne^{2ina})\prod_{k=1}^{n}(X-z_k)$ . En évaluant en $0$ , on obtient

$(1-(-1)^ne^{2ina})\prod_{k=1}^{n}(-z_k)=1-e^{2ina}.$

D’où,

$\prod_{k=1}^{n}z_k=\frac{1-e^{2ina}}{(-1)^n-e^{2ina}}=\frac{1-e^{2ina}}{e^{in\pi}-e^{2ina}}=\frac{e^{ina}}{e^{in\pi/2}e^{ina}}\frac{-2i\sin(na)}{-2i\sin n(a-\frac{\pi}{2})}=\frac{1}{i^n} \frac{\sin(na)}{\sin n(a-\frac{\pi}{2})}.$

Finalement, $c_n=(-1)^n\frac{\sin(na)}{\sin(n(a-\frac{\pi}{2}))}$ .

Si $n$ est pair, posons $n=2p$ , $p\in\Nn^*$ . $c_n=c_{2p}=\frac{\sin(2pa)}{\sin (2pa-p\pi)}=(-1)^p$ .

Si $n$ est impair, posons $n=2p+1$ . $c_n=c_{2p+1}=(-1)^p\tan((2p+1)a)$ .
2ème cas. Si $e^{2ina}=(-1)^n$ , alors $2na\in n\pi+2\pi\Zz$ ou encore $a\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$ . Dans ce cas, $c_n$ n’est pas défini.

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