Soient \(n\in\Nn\) et \(x\in\Rr\). Posons \(S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)\) et \(S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)\).

\[S_n+iS_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos(kx)+i\sin(kx))=\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}=\sum_{k=0}^{n}(e^{ix})^k.\] Maintenant, \(e^{ix}=1\Leftrightarrow x\in2\pi\Zz\). Donc,

Si \(x\in2\pi\Zz\), on a immédiatement \(S_n=n+1\) et \(S_n'=0\). [2ème cas.] Si x\(\notin2\pi\Zz\),

\[\begin{align*} S_n+iS_n'&=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{i(n+1)x/2}}{e^{ix/2}}\frac{e^{-i(n+1)x/2}-e^{i(n+1)x/2}} {e^{-i(n+1)x/2}+e^{i(n+1)x/2}}=e^{inx/2}\frac{-2i\sin\frac{(n+1)x}{2}}{-2i\sin\frac{x}{2}}\\ &=e^{inx/2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \end{align*}\] Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient

[2ème solution.] \[\begin{align*} 2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)&=\sum_{k=0}^{n}2\sin\frac{x}{2}\cos(kx)=\sum_{k=0}^{n}(\sin(k+\frac{1}{2})x-\sin( k-\frac{1}{2})x)\\ &=\left(\sin\frac{x}{2}-\sin\frac{-x}{2}\right)+\left(\sin\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)+\ldots+\left(\sin\frac{(2n-1)x}{2}-\sin\frac{(2n-3)x}{2}\right)\\ &+\left(\sin\frac{(2n+1)x}{2}-\sin\frac{(2n-1)x}{2}\right)\\ &=\sin\frac{(2n+1)x}{2}+\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{nx}{2} \end{align*}\] et donc, si \(x\notin2\pi\Zz\),...

Soient \(n\in\Nn\) et \(x\in\Rr\). Posons \(S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)\) et \(S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)\). On a :

\[S_n+S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)+\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}1=n+1,\]

et

\[S_n-S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)-\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}\cos(2kx).\]

D’après 1), si \(x\in\pi\Zz\), on trouve immédiatement,

\[\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)=n+1\;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)=0,\]

et si \(x\notin\pi\Zz\),

\[S_n+S_n'=n+1\;\mbox{et}\;S_n-S_n'=\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x},\]

de sorte que

\[S_n=\frac{1}{2}\left(n+1+\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right)\;\mbox{et}\;S_n'=\frac{1}{2}\left(n+1-\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right).\] Soient \(n\in\Nn\) et \(x\in\Rr\).

\[\begin{align*} \left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx)\right)+i\left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\sin(kx)\right)&=\sum_{k=0}^{n}C_n^ke^{ikx} =\sum_{k=0}^{n}C_n^k(e^{ix})^k1^{n-k}\\ &=(1+e^{ix})^n=(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^ne^{inx/2}=2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{nx}{2}+i\sin\frac{nx}{2}\right). \end{align*}\] Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient alors

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