Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$ . Posons $S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$ et $S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)$ .

1ère solution.

$S_n+iS_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos(kx)+i\sin(kx))=\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}=\sum_{k=0}^{n}(e^{ix})^k.$ Maintenant, $e^{ix}=1\Leftrightarrow x\in2\pi\Zz$ . Donc,
- 1er cas. Si $x\in2\pi\Zz$ , on a immédiatement $S_n=n+1$ et $S_n'=0$ .
- 2ème cas. Si x $\notin2\pi\Zz$ ,
  
  $\begin{align*} S_n+iS_n'&=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{i(n+1)x/2}}{e^{ix/2}}\frac{e^{-i(n+1)x/2}-e^{i(n+1)x/2}} {e^{-i(n+1)x/2}+e^{i(n+1)x/2}}=e^{inx/2}\frac{-2i\sin\frac{(n+1)x}{2}}{-2i\sin\frac{x}{2}}\\ &=e^{inx/2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \end{align*}$ Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient
  
  $\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\cos\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\;\mbox{si}\;x\notin2\pi\Zz\\ n+1\;\mbox{si}\;x\in2\pi\Zz \end{array} \right. \;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\sin\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\;\mbox{si}\;x\notin2\pi\Zz\\ 0\;\mbox{si}\;x\in2\pi\Zz \end{array} \right.$
2ème solution. $\begin{align*} 2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)&=\sum_{k=0}^{n}2\sin\frac{x}{2}\cos(kx)=\sum_{k=0}^{n}(\sin(k+\frac{1}{2})x-\sin( k-\frac{1}{2})x)\\ &=\left(\sin\frac{x}{2}-\sin\frac{-x}{2}\right)+\left(\sin\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)+\ldots+\left(\sin\frac{(2n-1)x}{2}-\sin\frac{(2n-3)x}{2}\right)\\ &+\left(\sin\frac{(2n+1)x}{2}-\sin\frac{(2n-1)x}{2}\right)\\ &=\sin\frac{(2n+1)x}{2}+\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{nx}{2} \end{align*}$ et donc, si $x\notin2\pi\Zz$ ,...

Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$ . Posons $S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)$ et $S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)$ . On a :

$S_n+S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)+\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}1=n+1,$

et

$S_n-S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)-\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}\cos(2kx).$

D’après 1), si $x\in\pi\Zz$ , on trouve immédiatement,

$\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)=n+1\;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)=0,$

et si $x\notin\pi\Zz$ ,

$S_n+S_n'=n+1\;\mbox{et}\;S_n-S_n'=\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x},$

de sorte que

$S_n=\frac{1}{2}\left(n+1+\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right)\;\mbox{et}\;S_n'=\frac{1}{2}\left(n+1-\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right).$ Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$ .

$\begin{align*} \left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx)\right)+i\left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\sin(kx)\right)&=\sum_{k=0}^{n}C_n^ke^{ikx} =\sum_{k=0}^{n}C_n^k(e^{ix})^k1^{n-k}\\ &=(1+e^{ix})^n=(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^ne^{inx/2}=2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{nx}{2}+i\sin\frac{nx}{2}\right). \end{align*}$ Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient alors

$\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx)=2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)\;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}C_n^k\sin(kx)= 2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right).$

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