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Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan complexe dont les affixes sont respectivement $a$, $b$, $c$. On suppose que $a+jb+j^2c=0$ ; montrer que $ABC$ est un triangle équilatéral ($j$ et $j^2$ sont les racines cubiques complexes de $1$ — plus précisément $j=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$). Réciproque ?

$ABC$ étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles équilatéraux directs $BOD$ et $OCE$, ce qui détermine les points $D$ et $E$ ($O$ est l’origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatère $ADOE$ ? Comparer les triangles $OBC$, $DBA$ et $EAC$.