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Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont dans $\Zz[i]$ alors $\alpha + \beta$ et $\alpha\beta$ le sont aussi.

Trouver les élements inversibles de $\Zz[i]$, c’est-à-dire les éléments $\alpha \in \Zz[i]$ tels qu’il existe $\beta \in \Zz[i]$ avec $\alpha\beta = 1$.

Vérifier que quel que soit $\omega \in \Cc$ il existe $\alpha \in \Zz[i]$ tel que $|\omega - \alpha| < 1$.

Montrer qu’il existe sur $\Zz[i]$ une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans $\Zz[i]$ il existe $q$ et $r$ dans $\Zz[i]$ vérifiant : $$\alpha = \beta q + r \qquad \text{avec} \qquad |r| < |\beta|.$$ (Indication : on pourra considérer le complexe $\frac{\alpha}{\beta}$)