Soit \(\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}\).
Montrer que si \(\alpha\) et \(\beta\) sont dans \(\Zz[i]\) alors \(\alpha + \beta\) et \(\alpha\beta\) le sont aussi.
Trouver les élements inversibles de \(\Zz[i]\), c’est-à-dire les éléments \(\alpha \in \Zz[i]\) tels qu’il existe \(\beta \in \Zz[i]\) avec \(\alpha\beta = 1\).
Vérifier que quel que soit \(\omega \in \Cc\) il existe \(\alpha \in \Zz[i]\) tel que \(|\omega - \alpha| < 1\).
Montrer qu’il existe sur \(\Zz[i]\) une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soient \(\alpha\) et \(\beta\) dans \(\Zz[i]\) il existe \(q\) et \(r\) dans \(\Zz[i]\) vérifiant : \[\alpha = \beta q + r \qquad \text{avec} \qquad |r| < |\beta|.\] (Indication : on pourra considérer le complexe \(\frac{\alpha}{\beta}\))