Soit \(X\) l’ensemble des nombres premiers de la forme \(4k + 3\) avec \(k \in \Nn\).
1
Montrer que \(X\) est non vide.
2
Montrer que le produit de nombres de la forme \(4k + 1\) est encore de cette forme.
3
On suppose que \(X\) est fini et on l’écrit alors \(X = \left\{
p_1, \ldots, p_n\right\}\).
Soit \(a = 4p_1 p_2 \ldots p_n - 1\). Montrer par l’absurde
que \(a\) admet un diviseur premier de la forme \(4k + 3\).
4
Montrer que ceci est impossible et donc que \(X\) est infini.