exo7 348

Montrer que $X$ est non vide.

Montrer que le produit de nombres de la forme $4k + 1$ est encore de cette forme.

On suppose que $X$ est fini et on l’écrit alors $X = \left\{ p_1, \ldots, p_n\right\}$.
Soit $a = 4p_1 p_2 \ldots p_n - 1$. Montrer par l’absurde que $a$ admet un diviseur premier de la forme $4k + 3$.

Montrer que ceci est impossible et donc que $X$ est infini.