1
Montrer que les sous-groupes de \(\Zz\) sont de la forme \(n\Zz\) où \(n\in\Nn\). (indication: utiliser la division euclidienne).
2
Rappeler pourquoi ces sous-groupes sont distingués. On peut donc considérer les groupes quotients \(\Zz/n\Zz\).
3
Montrer que \(\Zz/n\Zz\) est isomorphe au groupe des racines \(n^{\text{ième}}\) de l’unité.
4
Montrer que \(\Zz/n\Zz\) est isomorphe au groupe engendré par un cycle de longueur \(n\) dans \(S_N\) (\(N\geq n)\).
5
Plus généralement, montrer qu’il existe, à isomorphisme près, un seul groupe monogène (ie engendré par un seul élément) d’ordre \(n\), appelé groupe cyclique d’ordre \(n\).