On rappelle qu’un quadrilatère d’un espace euclidien \(E\) est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu, appelé centre du parallélogramme.
Cette définition est aussi valable en dimension 1 et pour les cas où deux sommets coïncident. (Dans ces cas, le parallélogramme est plat).
On dit que deux bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents si le quadrilatère \((ABDC)\) est un parallélogramme.
Vérifier que pour tout couple de points \((A,B)\), les bipoints \((A,B)\) et \((A,B)\) sont équipollents. On dit alors que la relation d’équipollence est réflexive.
Montrer que pour tous bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\), si les bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents alors les bipoints \((C,D)\) et \((A,B)\) le sont aussi. On dit alors que la relation d’équipollence est symétrique.
Démontrer que la relation d’équipollence est transitive, c’est à dire que pour tous triplets \((A,B)\), \((C,D)\) et \((F,G)\) de bipoints, si les bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents et si les bipoints \((C,D)\) et \((F,G)\) sont équipollents alors les bipoints \((A,B)\) et \((F,G)\) le sont aussi. (Indication : dans le cas où le quadrilatère \((ABGF)\) n’est pas plat, on pourra considérer la droite joignant les centres des parallélogrammes \((ABDC)\) et \((CDGF)\); dans le cas où le quadrilatère \((ABGF)\) est plat, on pourra utiliser le théorème de Thalès.)
On résume les trois propriétés précédentes en disant que la relation d’équipollence est une relation d’équivalence. La classe d’équipollence du bipoint \((A,B)\) est par définition l’ensemble des bipoints équipollents à \((A,B)\). Elle est appelée vecteur et notée \(\vec{AB}\). Si \((C,D)\) est équipollent à \((A,B)\), on dit que \((C,D)\) est un représentant de \(\vec{AB}\). Montrer qu’étant donné un point \(A\) et un vecteur \(\vec{u}\), il existe un unique point \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\). On notera \(B = t_{\vec{u}}(A)\).
Étant donnés un point \(A\) et un représentant \((F, G)\) du vecteur \(\vec{u}\), construire à la règle et au compas le point \(t_{\vec{u}}(A)\).
Montrer que si deux bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents, alors les bipoints \((A,C)\) et \((B,D)\) le sont aussi.
On choisit un point \(A\).
On détermine le point \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\).
On détermine le point \(C\) tel que \(\vec{BC} = \vec{v}\).
On définit \(\vec{u} + \vec{v} := \vec{AC}\). Montrer que la somme ainsi définie est indépendante du choix du point de base \(A\), c'est à dire, montrer que si on choisit un autre point \(A'\) comme point de base, le bipoint \((A',C')\) construit alors est équipollent au bipoint \((A,C)\) construit en partant du point \(A\). (Indication : On pourra montrer que \((A,A')\) est équipollent à \((C,C')\).)