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Vérifier que pour tout couple de points $(A,B)$, les bipoints $(A,B)$ et $(A,B)$ sont équipollents. On dit alors que la relation d’équipollence est réflexive.

Montrer que pour tous bipoints $(A,B)$ et $(C,D)$, si les bipoints $(A,B)$ et $(C,D)$ sont équipollents alors les bipoints $(C,D)$ et $(A,B)$ le sont aussi. On dit alors que la relation d’équipollence est symétrique.

Démontrer que la relation d’équipollence est transitive, c’est à dire que pour tous triplets $(A,B)$, $(C,D)$ et $(F,G)$ de bipoints, si les bipoints $(A,B)$ et $(C,D)$ sont équipollents et si les bipoints $(C,D)$ et $(F,G)$ sont équipollents alors les bipoints $(A,B)$ et $(F,G)$ le sont aussi. (Indication : dans le cas où le quadrilatère $(ABGF)$ n’est pas plat, on pourra considérer la droite joignant les centres des parallélogrammes $(ABDC)$ et $(CDGF)$; dans le cas où le quadrilatère $(ABGF)$ est plat, on pourra utiliser le théorème de Thalès.)

On résume les trois propriétés précédentes en disant que la relation d’équipollence est une relation d’équivalence. La classe d’équipollence du bipoint $(A,B)$ est par définition l’ensemble des bipoints équipollents à $(A,B)$. Elle est appelée vecteur et notée $\vec{AB}$. Si $(C,D)$ est équipollent à $(A,B)$, on dit que $(C,D)$ est un représentant de $\vec{AB}$. Montrer qu’étant donné un point $A$ et un vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $B$ tel que $\vec{AB} = \vec{u}$. On notera $B = t_{\vec{u}}(A)$.

Étant donnés un point $A$ et un représentant $(F, G)$ du vecteur $\vec{u}$, construire à la règle et au compas le point $t_{\vec{u}}(A)$.

Montrer que si deux bipoints $(A,B)$ et $(C,D)$ sont équipollents, alors les bipoints $(A,C)$ et $(B,D)$ le sont aussi.

On définit la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par le procédé suivant:

On choisit un point $A$.

On détermine le point $B$ tel que $\vec{AB} = \vec{u}$.

On détermine le point $C$ tel que $\vec{BC} = \vec{v}$.

On définit $\vec{u} + \vec{v} := \vec{AC}$.

Montrer que la somme ainsi définie est indépendante du choix du point de base $A$, c’est à dire, montrer que si on choisit un autre point $A'$ comme point de base, le bipoint $(A',C')$ construit alors est équipollent au bipoint $(A,C)$ construit en partant du point $A$. (Indication : On pourra montrer que $(A,A')$ est équipollent à $(C,C')$.)