On donne deux points \(O\) et \(I\), avec \(OI=1\). Un réel \(r\) est constructible si on peut construire à la règle et au compas un point \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{OI}\). Le but de l’exercice est de montrer que l’ensemble des nombres constructibles est un sous-corps de \(\R\) stable par racine carrée.
Construire sur la droite \((OI)\) des points \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(OA = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(OB =\sqrt{2}\) et \(OC =\sqrt{3}\).
(Construction du produit et de l’inverse de deux nombres constructibles.) On donne deux points \(A\) et \(B\) alignés avec \(O\). Construire sur la droite \((AB)\) des points \(C\) et \(D\) tel que \(OC = OA\times OB\) et \(OD = \frac{OA}{OB}\).
(Construction de la racine carrée.) Soit \(A\) un point sur la demi-droite \([OI)\). Soit \(I'\) le symétrique de \(I\) par rapport à \(O\), soit \(\mathcal C\) le cercle de diamètre \(I'A\), et soit \(F\) l’une des intersections du cercle \(\mathcal C\) avec la perpendiculaire à \((OA)\) passant par \(O\). Montrer que \(OF = \sqrt{OA}\).