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Soit $n\in {\Nn}$. Montrer que ${\Rr}_n[X]$, ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à $n$, est un sous-espace vectoriel de ${\Rr}[X]$. Montrer que la famille $1,X,\ldots,X^n$ est une base de ${\Rr}_n[X]$.

Soient $f$, $g$ et $h$ les applications de ${\Rr}[X]$ dans lui-même définies par : =$f(P(X))=XP(X),$ $g(P(X))=P'(X),$ $h(P(X))=(P(X))^2.$

Montrer que les applications $f$ et $g$ sont linéaires, mais que $h$ ne l’est pas. $f$ et $g$ sont-elles injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l’image de $f$.

On désigne par $f_n$ et $g_n$ les restrictions de $f$ et de $g$ à ${\Rr}_n[X]$. Montrer que l’image de $g_n$ est incluse dans ${\Rr}_n[X]$ et celle de $f_n$ est incluse dans ${\Rr}_{n+1}[X]$. Déterminer la matrice de $g_n$ dans la base $1,X, ...,X^n$ de ${\Rr}_n[X]$. Déterminer la matrice de $f_n$ de la base $1,X, ...,X^n$ dans la base $1,X, ...,X^{n+1}$. Calculer les dimensions respectives des images de $f_n$ et de $g_n$.