Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
Soit \(n\in {\Nn}\). Montrer que \({\Rr}_n[X]\), ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à \(n\), est un sous-espace vectoriel de \({\Rr}[X]\). Montrer que la famille \(1,X,\ldots,X^n\) est une base de \({\Rr}_n[X]\).
Soient \(f\), \(g\) et \(h\) les applications de \({\Rr}[X]\) dans lui-même définies par : =
Montrer que les applications \(f\) et \(g\) sont linéaires, mais que \(h\) ne l’est pas. \(f\) et \(g\) sont-elles injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l’image de \(f\).
On désigne par \(f_n\) et \(g_n\) les restrictions de \(f\) et de \(g\) à \({\Rr}_n[X]\). Montrer que l’image de \(g_n\) est incluse dans \({\Rr}_n[X]\) et celle de \(f_n\) est incluse dans \({\Rr}_{n+1}[X]\). Déterminer la matrice de \(g_n\) dans la base \(1,X, ...,X^n\) de \({\Rr}_n[X]\). Déterminer la matrice de \(f_n\) de la base \(1,X, ...,X^n\) dans la base \(1,X, ...,X^{n+1}\). Calculer les dimensions respectives des images de \(f_n\) et de \(g_n\).