Notons \(E_{ij}\) la matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient \(1\) à la \(i\)-ème ligne et la \(j\)-ème colonne).

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\Rr)\). Alors \[A \times E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1i} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{2i} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ji} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ni} & 0 & \cdots \\ \end{pmatrix}\] La seule colonne non nulle est la \(j\)-ème colonne.

La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale est \(a_{ji}\), on en déduit donc \[\text{tr} (A \times E_{ij})=a_{ji}\] (attention à l’inversion des indices).

Maintenant prenons deux matrices \(A, B\) telles que \(\text{tr} (AX) = \text{tr} (BX)\) pour toute matrice \(X\). Alors pour \(X=E_{ij}\) on en déduit \(a_{ji}=b_{ji}\). On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires \(E_{ij}\) avec \(1 \le i,j \le n\) ce qui implique \(A=B\).

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