Notons $E_{ij}$ la matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient $1$ à la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne).

Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\Rr)$ . Alors $A \times E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1i} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{2i} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ji} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ni} & 0 & \cdots \\ \end{pmatrix}$ La seule colonne non nulle est la $j$ -ème colonne.

La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale est $a_{ji}$ , on en déduit donc $\text{tr} (A \times E_{ij})=a_{ji}$ (attention à l’inversion des indices).

Maintenant prenons deux matrices $A, B$ telles que $\text{tr} (AX) = \text{tr} (BX)$ pour toute matrice $X$ . Alors pour $X=E_{ij}$ on en déduit $a_{ji}=b_{ji}$ . On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires $E_{ij}$ avec $1 \le i,j \le n$ ce qui implique $A=B$ .

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