Pour un entier \(n\geq 2\) et \(x\) dans \(\Rr\), considérons la matrice d’ordre \(n\): \[D_n = \left ( {\begin{array}{cccc} x & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right ).\]
Calculer \(det(D_2)\) et \(det(D_3)\).
Montrer d’abord que \[det(D_n)= \left | {\begin{array}{ccccc} x+n-1 & x+n-1 & \ldots & \ldots & x+n-1 \\ 1 & x & 1& \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots& \vdots \\ \vdots &\ldots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |,\]
et ensuite
\[det(D_n)= (x+n-1)\left | {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |.\]
En utilisant la méthode du pivot de Gauss, calculer \(det(D_n)\) pour tout \(n\).
Pour chaque \(n\), pour quelles valeurs de \(x\) la matrice \(D_n\) est-elle inversible?