exo7 7413

Calculer $det(D_2)$ et $det(D_3)$.

Montrer d’abord que $$det(D_n)= \left | {\begin{array}{ccccc} x+n-1 & x+n-1 & \ldots & \ldots & x+n-1 \\ 1 & x & 1& \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots& \vdots \\ \vdots &\ldots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |,$$

et ensuite

$$det(D_n)= (x+n-1)\left | {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |.$$

En utilisant la méthode du pivot de Gauss, calculer $det(D_n)$ pour tout $n$.

Pour chaque $n$, pour quelles valeurs de $x$ la matrice $D_n$ est-elle inversible?