L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1086

Soient EE un espace vectoriel de dimension nn, ff une application linéaire de EE dans lui-même et xx un élément de EE tel que la famille f(x),...,fn(x)f(x), ...,f^n(x) soit libre.

1

Montrer que la famille x,f(x),…,fn−1(x)x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x) est une base de EE. Déduiser-en que ff est bijective.

2

On suppose maintenant que fn(x)=xf^n(x)=x. Déterminer la matrice de ff dans la base x,f(x),…,fn−1(x)x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x).

Exercice 9Kaq

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