Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même et \(x\) un élément de \(E\) tel que la famille \(f(x), ...,f^n(x)\) soit libre.
1
Montrer que la famille \(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)\) est une base de \(E\). Déduiser-en que \(f\) est bijective.
2
On suppose maintenant que \(f^n(x)=x\). Déterminer la matrice de \(f\) dans la base \(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)\).