Soit la matrice \(U= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et la matrice identité \(I_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
Pour tous réels \(a,b\), on note \(M(a,b) = aU + bI_{3}\).
1
Montrer que \(M(1,-3)\) n’est pas inversible.
2
Montrer que \(M(1,1)\) est inversible et déterminer son inverse.
3
Montrer que \(M(a,b)\) est inversible dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) si et seulement si \(b(b+3a) \neq 0\) et exprimer \(M(a,b)^{-1}\) sous la forme \(a'U + b'I_{3}\) où \(a'\) et \(b'\) sont des réels à déterminer.