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Soit la matrice $U= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ et la matrice identité $I_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ .

Pour tous réels $a,b$ , on note $M(a,b) = aU + bI_{3}$ .

Montrer que $M(1,-3)$ n’est pas inversible.

Montrer que $M(1,1)$ est inversible et déterminer son inverse.

Montrer que $M(a,b)$ est inversible dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ si et seulement si $b(b+3a) \neq 0$ et exprimer $M(a,b)^{-1}$ sous la forme $a'U + b'I_{3}$ où $a'$ et $b'$ sont des réels à déterminer.

Étude d'une matrice à paramètres

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