Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) et \(f\) une forme linéaire non nulle sur \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) telle que \(H=\mbox{Ker}f\).

Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\), posons \(f(A)=\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}\alpha_{i,j}a_{i,j}\).

Supposons \(\exists(i,j)\in\{1,...,n\}^2/\;i\neq j\;\mbox{et}\;\alpha_{i,j}\neq 0\). On pose alors \(S=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k,k}\) et on considère \(A=\sum_{k=1}^{n}E_{k,k}-\frac{S}{\alpha_{i,j}}E_{i,j}\). \(A\) est triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls et est donc inversible.

De plus, \(f(A)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k,k}-\frac{S}{\alpha_{i,j}}\alpha_{i,j}=S-S=0\) et \(A\) est élément de \(H\).
Supposons \(\forall(i,j)\in\{1,...,n\}^2,\;(i\neq j\Rightarrow \alpha_{i,j}=0)\). Alors, \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Kk),\;f(A)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i,i}a_{i,i}\). Soit \(A=E_{n,1}+E_{2,1}+E_{3,2}+...+E_{n-1,n}\). \(A\) est inversible car par exemple égale à la matrice de passage de la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\Kk^n\) à la base \((e_n,e_1,...,e_{n-1})\). De plus, \(f(A)=0\).

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