Si $M$ est solution, nécessairement $a\text{Tr}M +(\text{Tr}M)(\text{Tr}A)=\text{Tr}B$ ou encore $(\text{Tr}M)(a+\text{Tr}A) =\text{Tr}B$ .

1er cas. Si $\text{Tr}A\neq-a$ alors nécessairement $\text{Tr}M=\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}$ puis $M=\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)$ .

Réciproquement, si $M=\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)$ alors

$aM +(TrM)A=B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A +\frac{1}{a}\left(\text{Tr}B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}\text{Tr}A\right)A = B$ .

Si $\text{Tr}A\neq-a$ , $\mathcal{S}=\left\{\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)\right\}$ .

2ème cas. Si $\text{Tr}A=-a$ et $\text{Tr}B\neq 0$ , il n’y a pas de solution .

3ème cas. Si $\text{Tr}A=-a$ et $\text{Tr}B=0$ , $M$ est nécessairement de la forme $\frac{1}{a}B +\lambda A$ où $\lambda$ est un réel quelconque.

Réciproquement, soient $\lambda\in\Rr$ puis $M=\frac{1}{a}B+\lambda A$ . Alors

$aM+(\text{Tr}M)A=B+a\lambda A+\left(\frac{1}{a}\text{Tr}B+\lambda\text{Tr}A\right)A=B+a\lambda A-a\lambda A= B$ ,

et toute matrice de la forme $B +\lambda A$ , $\lambda\in\Rr$ , est solution.

Si $\text{Tr}A=-a$ , $\mathcal{S}=\varnothing$ si $\text{Tr}B\neq0$ et $\mathcal{S}=\left\{B+\lambda A,\;\lambda\in\Rr\right\}$ si $\text{Tr}B=0$ .

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