Un vecteur non nul \(x\) est colinéaire à son image si et seulement si il existe \(\lambda\in\Cc\) tel que \(u(x)=\lambda x\). Les nombres \(\lambda\) correspondants sont les complexes tels qu’il existe un vecteur \(x\neq0\) dans \(\mbox{Ker}(u-\lambda Id)\) ou encore tels que \(A-\lambda I_4\notin\mathcal{GL}_4(\Cc)\).

Le déterminant de \(A-\lambda I_4\) vaut :

\[\begin{align*}\ensuremath \left| \begin{array}{cccc} 7-\lambda&4&0&0\\ -12&-7-\lambda&0&0\\ 20&11&-6-\lambda&-12\\ -12&-6&6&11-\lambda \end{array} \right|&=(7-\lambda)\left| \begin{array}{ccc} -7-\lambda&0&0\\ 11&-6-\lambda&-12\\ -6&6&11-\lambda \end{array} \right|-4\left| \begin{array}{ccc} -12&0&0\\ 20&-6-\lambda&-12\\ -12&6&11-\lambda \end{array} \right|\\ &=(7-\lambda)(-7-\lambda)\left| \begin{array}{cc} -6-\lambda&-12\\ 6&11-\lambda \end{array} \right|-4(-12)\left| \begin{array}{cc} -6-\lambda&-12\\ 6&11-\lambda \end{array} \right|\\ &=(\lambda-7)(\lambda+7)(\lambda^2-5\lambda+6)+48(\lambda^2-5\lambda+6)\\ &=(\lambda^2-5\lambda+6)(\lambda^2-49+48)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1) \end{align*}\]

Ainsi, \(A-\lambda I_4\notin\mathcal{GL}_4(\Cc)\Leftrightarrow\lambda\in\{-1,1,2,3\}\).

Soit \((x,y,z,t)\in\Cc^4\).

\[\begin{align*}\ensuremath (x,y,z,t)\in\mbox{Ker}(u+Id)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 8x+4y=0\\ -12x-6y=0\\ 20x+11y-5z-12t=0\\ -12x-6y+6z+12t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ -2x-5z-12t=0\\ z+2t=0\end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ z=-2t\\ -2x-2t=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ t=-x\\ z=2x \end{array} \right.. \end{align*}\]

Donc, \(\mbox{Ker}(u+Id)=\mbox{Vect}(e_1)\) où \(e_1=(1,-2,2,-1)\). [- Cas \(\lambda=1\).] Soit \((x,y,z,t)\in\Cc^4\).

\[\begin{align*}\ensuremath (x,y,z,t)\in\mbox{Ker}(u-Id)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 6x+4y=0\\ -12x-8y=0\\ 20x+11y-7z-12t=0\\ -12x-6y+6z+10t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=0\\ 20x+11y-7z-12t=0\\ -6x-3y+3z+5t=0 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-\frac{3}{2}x\\ 14z+24t=7x\\ 6z+10t=3x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-\frac{3}{2}x\\ z=\frac{1}{2}x\\ t=0 \end{array} \right.. \end{align*}\]

Donc, \(\mbox{Ker}(u-Id)=\mbox{Vect}(e_2)\) où \(e_2=(2,-3,1,0)\). [- Cas \(\lambda=2\).]

Soit \((x,y,z,t)\in\Cc^4\).

\[\begin{align*}\ensuremath (x,y,z,t)\in\mbox{Ker}(u-Id)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 5x+4y=0\\ -12x-9y=0\\ 20x+11y-8z-12t=0\\ -12x-6y+6z+9t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=0 2z+3t=0 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=y=0\\ z=-\frac{3}{2}t \end{array} \right. . \end{align*}\]

Donc, \(\mbox{Ker}(u-2Id)=\mbox{Vect}(e_3)\) où \(e_3=(0,0,3,-2)\). [-Cas \(\lambda=3\).]

Soit \((x,y,z,t)\in\Cc^4\).

\[\begin{align*}\ensuremath (x,y,z,t)\in\mbox{Ker}(u-Id)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 4x+4y=0\\ -12x-10y=0\\ 20x+11y-9z-12t=0\\ -12x-6y+6z+8t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=0 3z+4t=0 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=y=0\\ z=-\frac{4}{3}t \end{array} \right. . \end{align*}\]

Donc, \(\mbox{Ker}(u-3Id)=\mbox{Vect}(e_4)\) où \(e_4=(0,0,4,-3)\).

Soit \(P\) la matrice de la famille \((e_1,e_2,e_3,e_4)\) dans la base canonique \((i,j,k,l)\). On a \(P=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&0&0\\ -2&-3&0&0\\ 2&1&3&4\\ -1&0&-2&-3 \end{array} \right)\).

Montrons que \(P\) est inversible et déterminons son inverse.

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} e_1=i-2j+2k-l\\ e_2=2i-3j+k\\ e_3=3k-2l\\ e_4=4k-3l \end{array} \right. &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=3e_3-2e_4\\ l=4e_3-3e_4\\ e_1=i-2j+2(3e_3-2e_4)-(4e_3-3e_4)\\ e_2=2i-3j+(3e_3-2e_4) \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=3e_3-2e_4\\ l=4e_3-3e_4\\ i-2j=e_1-2e_3+e_4\\ 2i-3j=e_2-3e_3+2e_4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=3e_3-2e_4\\ l=4e_3-3e_4\\ i=-3e_1+2e_2+e_4\\ j=-2e_1+e_2+e_3 \end{array} \right. \end{align*}\] Ainsi, \(\Cc^4=\mbox{Vect}(i,j,k,l)\subset\mbox{Vect}(e_1,e_2,e_3,e_4)\). Donc, la famille \((e_1,e_2,e_3,e_4)\) est génératrice de \(\Cc^4\) et donc une base de \(\Cc^4\). Ainsi, \(P\) est inversible et

\[P^{-1}= \left( \begin{array}{cccc} -3&-2&0&0\\ 2&1&0&0\\ 0&1&3&4\\ 1&0&-2&-3 \end{array} \right) .\] Les formules de changement de bases s’écrivent \(A=PDP^{-1}\) avec \(D=\mbox{diag}(-1,1,2,3)\). Soit \(n\in\Nn^*\). Calculons \(A^n\).

\[\begin{align*}\ensuremath A^n&=PD^nP^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&0&0\\ -2&-3&0&0\\ 2&1&3&4\\ -1&0&-2&-3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} (-1)^n&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&2^n&0\\ 0&0&0&3^n \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} -3&-2&0&0\\ 2&1&0&0\\ 0&1&3&4\\ 1&0&-2&-3 \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&0&0\\ -2&-3&0&0\\ 2&1&3&4\\ -1&0&-2&-3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} -3(-1)^n&-2(-1)^n&0&0\\ 2&1&0&0\\ 0&2^n&3.2^n&4.2^n\\ 3^n&0&-2.3^n&-3.3^n \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cccc} -3(-1)^n+4&-2(-1)^n+2&0&0\\ 6(-1)^n-6&4(-1)^n-3&0&0\\ -6(-1)^n+2+4.3^n&-4(-1)^n+1+3.2^n&9.2^n-8.3^n&12(2^n-3^n)\\ 3((-1)^n-3^n)&2((-1)^n-2^n)&6(3^n-2^n)&-8.2^n+9.3^n \end{array} \right) \end{align*}\]

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