Soient trois vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) formant une base de \(\Rr^3\). On note \(\phi\) l’application linéaire définie par \(\phi(e_1)=e_3\), \(\phi(e_2)=-e_1+e_2+e_3\) et \(\phi(e_3)=e_3\).
Écrire la matrice \(A\) de \(\phi\) dans la base \((e_1,e_2,e_3)\). Déterminer le noyau de cette application.
On pose \(f_1=e_1-e_3\), \(f_2=e_1-e_2\), \(f_3=-e_1+e_2+e_3\). Calculer \(e_1,e_2,e_3\) en fonction de \(f_1,f_2,f_3\). Les vecteurs \(f_1,f_2,f_3\) forment-ils une base de \(\Rr^3\) ?
Calculer \(\phi(f_1), \phi(f_2), \phi(f_3)\) en fonction de \(f_1,f_2,f_3\). Écrire la matrice \(B\) de \(\phi\) dans la base \((f_1,f_2,f_3)\) et trouver la nature de l’application \(\phi\).
On pose \(P=\begin{pmatrix}1&1&-1\cr 0&-1&1\cr-1&0&1\cr\end{pmatrix}\). Vérifier que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}\). Quelle relation lie \(A\), \(B\), \(P\) et \(P^{-1}\) ?