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Écrire la matrice $A$ de $\phi$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$. Déterminer le noyau de cette application.

On pose $f_1=e_1-e_3$, $f_2=e_1-e_2$, $f_3=-e_1+e_2+e_3$. Calculer $e_1,e_2,e_3$ en fonction de $f_1,f_2,f_3$. Les vecteurs $f_1,f_2,f_3$ forment-ils une base de $\Rr^3$ ?

Calculer $\phi(f_1), \phi(f_2), \phi(f_3)$ en fonction de $f_1,f_2,f_3$. Écrire la matrice $B$ de $\phi$ dans la base $(f_1,f_2,f_3)$ et trouver la nature de l’application $\phi$.

On pose $P=\begin{pmatrix}1&1&-1\cr 0&-1&1\cr-1&0&1\cr\end{pmatrix}$. Vérifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. Quelle relation lie $A$, $B$, $P$ et $P^{-1}$ ?