Soit $r$ le rang de $H$ . Il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ de format $n$ telles que $H =PJ_rQ$ où $J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)$ . L’égalité $HAH =\lambda_AH$ s’écrit après simplifications $J_rQAPJ_r=\lambda_AJ_r$ . Maintenant , quand $A$ décrit $\mathcal{M}_n(\Kk)$ , la matrice $B=QAP$ décrit également $\mathcal{M}_n(\Kk)$ (par exemple, l’application qui à $A$ associe $QAP$ est une permutation de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ de réciproque l’application qui à $A$ associe $Q^{-1}AP^{-1}$ ).

L’énoncé s’écrit maintenant de manière plus simple : montrons que $(\forall B\in\mathcal{M}_n(\Kk),\;\exists\lambda_B\in\Kk/\;J_rBJ_r =\lambda_BJ_r)\Rightarrow r\leqslant 1$ .

Un calcul par blocs fournit en posant $B=\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)$

$J_rBJ_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ B_2&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ 0&0 \end{array} \right)$

Mais si $r\geqslant 2$ , il existe des matrices carrées $B_1$ de format $r$ qui ne sont pas des matrices scalaires et donc telles que $B_1$ n’est pas colinéaire à $I_r$ . Donc $r\leqslant 1$ .

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