Calculons $A\overline{A}$ . Soit $(j,k)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ . Le coefficient ligne $j$ , colonne $k$ de $A\overline{A}$ vaut

$\sum_{u=1}^{n}\omega^{(j-1)(u-1)}\omega^{-(u-1)(k-1)}=\sum_{u=1}^{n}\left(\omega^{j-k}\right)^{u-1}$ .

Si $j=k$ , ce coefficient vaut $n$ .

Si $j\neq k$ , puisque $j-k$ est strictement compris entre $-n$ et $n$ et que $j-k$ n’est pas nul, $\omega^{j-k}$ est différent de $1$ . Le coefficient ligne $j$ , colonne $k$ , de $A\overline{A}$ est donc égal à $\frac{1-\left(\omega^{j-k}\right)^{n}}{1-\omega^{j-k}}=\frac{1-1}{1-\omega^{j-k}}= 0$ .

Finalement, $A\overline{A}=nI_n$ . Ainsi, $A$ est inversible à gauche et donc inversible, d’inverse $A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}$ .

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