Calculons \(A\overline{A}\). Soit \((j,k)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\). Le coefficient ligne \(j\), colonne \(k\) de \(A\overline{A}\) vaut

\(\sum_{u=1}^{n}\omega^{(j-1)(u-1)}\omega^{-(u-1)(k-1)}=\sum_{u=1}^{n}\left(\omega^{j-k}\right)^{u-1}\).

Si \(j=k\), ce coefficient vaut \(n\).

Si \(j\neq k\), puisque \(j-k\) est strictement compris entre \(-n\) et \(n\) et que \(j-k\) n’est pas nul, \(\omega^{j-k}\) est différent de \(1\). Le coefficient ligne \(j\), colonne \(k\), de \(A\overline{A}\) est donc égal à \(\frac{1-\left(\omega^{j-k}\right)^{n}}{1-\omega^{j-k}}=\frac{1-1}{1-\omega^{j-k}}= 0\).

Finalement, \(A\overline{A}=nI_n\). Ainsi, \(A\) est inversible à gauche et donc inversible, d’inverse \(A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}\).

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