Une partie \({\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)\) est appelée idéal à droite de \(\mathcal{M}_n(K)\) si c’est un sous-groupe additif vérifiant : \[\forall\ A \in {\cal I},\ \forall\ B \in \mathcal{M}_n(K),\ AB \in {\cal I}.\]
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(K)\), on note \({\cal H}_A\) le sev de \(\mathcal{M}_{n,1}(K)\) engendré par les colonnes de \(A\), et \({\cal I}_A\) l’idéal à droite engendré par \(A\) : \({\cal I}_A = \{ AM \text{ tq } M \in \mathcal{M}_n(K) \}\).
Soient \(A,M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(M \in {\cal I}_A \iff {\cal H}_M \subset {\cal H}_A\).
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer qu’il existe \(C \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \({\cal H}_A + {\cal H}_B = {\cal H}_C\). Simplifier \({\cal I}_A + {\cal I}_B\).
Soit \(\cal I\) un idéal à droite de \(\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(\cal I\) est un sev de \(\mathcal{M}_n(K)\), puis qu’il existe \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \({\cal I} = {\cal I}_A\).
Que peut-on dire des idéaux à gauche de \(\mathcal{M}_n(K)\) ?