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Une partie ${\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)$ est appelée idéal à droite de $\mathcal{M}_n(K)$ si c’est un sous-groupe additif vérifiant : $\forall\ A \in {\cal I},\ \forall\ B \in \mathcal{M}_n(K),\ AB \in {\cal I}.$

Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , on note ${\cal H}_A$ le sev de $\mathcal{M}_{n,1}(K)$ engendré par les colonnes de $A$ , et ${\cal I}_A$ l’idéal à droite engendré par $A$ : ${\cal I}_A = \{ AM \text{ tq } M \in \mathcal{M}_n(K) \}$ .

Soient $A,M \in \mathcal{M}_n(K)$ . Montrer que : $M \in {\cal I}_A \iff {\cal H}_M \subset {\cal H}_A$ .

Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ . Montrer qu’il existe $C \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que ${\cal H}_A + {\cal H}_B = {\cal H}_C$ . Simplifier ${\cal I}_A + {\cal I}_B$ .

Soit $\cal I$ un idéal à droite de $\mathcal{M}_n(K)$ . Montrer que $\cal I$ est un sev de $\mathcal{M}_n(K)$ , puis qu’il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que ${\cal I} = {\cal I}_A$ .

Que peut-on dire des idéaux à gauche de $\mathcal{M}_n(K)$ ?

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