[exo1093] Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même telle que \(f^2=f\).
1
Montrer que \(E= \Ker f \oplus \Im f\).
2
Supposons que \(E\) soit de dimension finie \(n\). Posons \(r= \dim \Im f\). Montrer qu’il existe une base \(\mathcal{B}= ( e_1, \ldots ,e_n)\) de \(E\) telle que : \(f(e_i)=e_i\) si \(i\le r\) et \(f(e_i)=0\) si \(i>r\). Déterminer la matrice de \(f\) dans cette base \(\mathcal{B}\).