Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de \(M\) par ligne et par colonne sont constantes. On note \(s(M)\) leur valeur commune.
Soit \(U = \begin{pmatrix} 1 &\dots&1 \cr \vdots& &\vdots\cr 1 &\dots&1 \cr\end{pmatrix}\) et \({\cal M} = \{ \text{matrices } n\times n \text{ magiques}\}\).
Montrer que \(\cal M\) est une sous-algèbre de \(\mathcal{M}_n(K)\) et \(s : {\cal M} \to K\) est un morphisme d’algèbre (calculer \(MU\) et \(UM\)).
Si \(M\) est magique inversible, montrer que \(M^{-1}\) est aussi magique.
Montrer que \(\cal M\) est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques.
Pour \(M \in \mathcal{M}_n(K)\), on note \(\phi_M\) l’endomorphisme de \(K^n\) canoniquement associé à \(M\). Soit \({\cal H} = \{ (x_1, \dots ,x_n) \in K^n \text{ tq } x_1 + \dots + x_n = 0 \}\) et \({\cal K} = \{ ( x, \dots, x) \in K^n \}\).
Montrer que : \(M \in {\cal M} \iff {\cal H} \text{ et } {\cal K}\) sont stables par \(\phi_M\).
En déduire dim(\(\cal M\)).