Par la même méthode qu’au [ex:rou32], on voit que $f=\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}g$ est un projecteur et donc $\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}\text{Tr}g=\text{rg}f$ . Maintenant, si $x$ est un élément de $F$ alors pour tout $g$ dans $G$ , $g(x)=x$ et donc $f(x) = x$ . Ainsi, un élément $x$ de $F$ est dans $\text{Im}f$ .

Inversement, soit $x$ un élément de $\text{Im}f$ . Pour $g\in G$ ,

$g(x)=g(f(x))=\frac{1}{p}\sum_{h\in G}^{}g\circ h(x)=\frac{1}{p}\sum_{h\in G}^{}h(x)=f(x)= x$ .

(Comme au [ex:rou32], l’application qui, pour $g\in G$ fixé, associe à un élément $h$ de $G$ l’élément $g\circ h$ , est une permutation de $G$ ).

Ainsi, l’élément $x$ de $\text{Im}f$ est dans $F$ . On a montré que $F=\text{Im}f$ . Puisque $f$ est un projecteur, on en déduit que

$\text{dim}F=\text{rg}f=\text{Tr}f=\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}\text{Tr}g$ .

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