Par la même méthode qu’au [ex:rou32], on voit que \(f=\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}g\) est un projecteur et donc \(\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}\text{Tr}g=\text{rg}f\). Maintenant, si \(x\) est un élément de \(F\) alors pour tout \(g\) dans \(G\), \(g(x)=x\) et donc \(f(x) = x\). Ainsi, un élément \(x\) de \(F\) est dans \(\text{Im}f\).

Inversement, soit \(x\) un élément de \(\text{Im}f\). Pour \(g\in G\),

\(g(x)=g(f(x))=\frac{1}{p}\sum_{h\in G}^{}g\circ h(x)=\frac{1}{p}\sum_{h\in G}^{}h(x)=f(x)= x\).

(Comme au [ex:rou32], l’application qui, pour \(g\in G\) fixé, associe à un élément \(h\) de \(G\) l’élément \(g\circ h\), est une permutation de \(G\)).

Ainsi, l’élément \(x\) de \(\text{Im}f\) est dans \(F\). On a montré que \(F=\text{Im}f\). Puisque \(f\) est un projecteur, on en déduit que

\(\text{dim}F=\text{rg}f=\text{Tr}f=\frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}\text{Tr}g\).

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