Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique \((i,j,k)\) de \(\Rr^3\) est :
\[M=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right) .\]
1
Déterminer \(u(2i-3j+5k)\).
2
Déterminer \(\mbox{Ker}u\) et \(\mbox{Im}u\).
3
Calculer \(M^2\) et \(M^3\).
4
Déterminer \(\mbox{Ker}u^2\) et \(\mbox{Im}u^2\).
5
Calculer \((I-M)(I+M+M^2)\) et en déduire que \(I-M\) est inversible. Préciser \((I-M)^{-1}\).