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Soit $u$ l’endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est :

$M=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right) .$

Déterminer $u(2i-3j+5k)$ .

Déterminer $\mbox{Ker}u$ et $\mbox{Im}u$ .

Calculer $M^2$ et $M^3$ .

Déterminer $\mbox{Ker}u^2$ et $\mbox{Im}u^2$ .

Calculer $(I-M)(I+M+M^2)$ et en déduire que $I-M$ est inversible. Préciser $(I-M)^{-1}$ .

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