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Soit $A$ une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que $A$ est nilpotente.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice nilpotente d’indice $n$ et $\phi$ l’endomorphisme de $K^n$ associé. On note $E_i = \mathrm{Ker} \phi^i$, et $\vec e_i$ un vecteur quelconque choisi dans $E_i \setminus E_{i-1}$ $(\vec e_1 \in E_1 \setminus \{\vec 0 \})$.

Justifier l’existence de $\vec e_i$.

Montrer que la famille $(\vec e_i)$ est une base de $K^n$.

En déduire que $A$ est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.