1
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilpotente.
2
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) une matrice nilpotente d’indice \(n\) et \(\phi\) l’endomorphisme de \(K^n\) associé. On note \(E_i = \mathrm{Ker} \phi^i\), et \(\vec e_i\) un vecteur quelconque choisi dans \(E_i \setminus E_{i-1}\) \((\vec e_1 \in E_1 \setminus \{\vec 0 \})\).
3
Justifier l’existence de \(\vec e_i\).
4
Montrer que la famille \((\vec e_i)\) est une base de \(K^n\).
5
En déduire que \(A\) est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.