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Soient $A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)$, $A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)$, $B_1 \in \mathcal{M}_{p_1,q}(K)$, $B_2 \in \mathcal{M}_{p_2,q}(K)$.

On pose $A = \begin{pmatrix} A_1 &A_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,p_1+p_2}(K)$ et $B = \begin{pmatrix} B_1 \cr B_2 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p_1+p_2,q}(K)$. Montrer que $AB = A_1B_1 + A_2B_2$.

Soit $M = \begin{pmatrix}A & B \cr 0 & C \cr\end{pmatrix}$ où $A,B,0,C$ sont des matrices de tailles $p\times p$, $p \times q$, $q\times p$, $q \times q$ (matrice triangulaire par blocs). Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $A$ et $C$ le sont. Le cas échéant, donner $M^{-1}$ sous la même forme.

En déduire une nouvelle démonstration de la propriété : L’inverse d’une matrice triangulaire est triangulaire.