Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), \(B_1 \in \mathcal{M}_{p_1,q}(K)\), \(B_2 \in \mathcal{M}_{p_2,q}(K)\).
On pose \(A = \begin{pmatrix} A_1 &A_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,p_1+p_2}(K)\) et \(B = \begin{pmatrix} B_1 \cr B_2 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p_1+p_2,q}(K)\). Montrer que \(AB = A_1B_1 + A_2B_2\).
Soit \(M = \begin{pmatrix}A & B \cr 0 & C \cr\end{pmatrix}\) où \(A,B,0,C\) sont des matrices de tailles \(p\times p\), \(p \times q\), \(q\times p\), \(q \times q\) (matrice triangulaire par blocs). Montrer que \(M\) est inversible si et seulement si \(A\) et \(C\) le sont. Le cas échéant, donner \(M^{-1}\) sous la même forme.
En déduire une nouvelle démonstration de la propriété : L’inverse d’une matrice triangulaire est triangulaire.