Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice \(A=\begin{pmatrix} 2&\frac 23\\ -\frac 52&-\frac 23 \end{pmatrix}\) dans la base canonique. Soient \(e_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3\end{pmatrix}\) et \(e_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\).
1
Montrer que \(\mathcal{B}'= (e_1, e_2)\) est une base de \(\Rr^2\) et déterminer \(\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)\).
2
Calculer \(A^n\) pour \(n \in \Nn\).
3
Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient \(\forall n \in \Nn\) \(\begin{cases} x_{n + 1} = 2x_n + \dfrac 23 y_n \\ y_{n + 1} = -\dfrac 52 x_n - \dfrac 23 y_n \end{cases}\).