L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 1104

Soit $f$ l’endomorphisme de $\Rr^2$ de matrice $A=\begin{pmatrix} 2&\frac 23\\ -\frac 52&-\frac 23 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Soient $e_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3\end{pmatrix}$ et $e_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Montrer que $\mathcal{B}'= (e_1, e_2)$ est une base de $\Rr^2$ et déterminer $\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

Calculer $A^n$ pour $n \in \Nn$ .

Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient $\forall n \in \Nn$ $\begin{cases} x_{n + 1} = 2x_n + \dfrac 23 y_n \\ y_{n + 1} = -\dfrac 52 x_n - \dfrac 23 y_n \end{cases}$ .