Posons : $e_1=\begin{pmatrix}1 \cr 2 \cr -1 \cr \end{pmatrix} , e_2=\begin{pmatrix}3 \cr -1 \cr 1 \cr \end{pmatrix} , e_{3,\alpha }=\begin{pmatrix}\alpha \cr 2 \cr 2 \cr \end{pmatrix} , e_{4, \beta }=\begin{pmatrix}\beta \cr 1 \cr 0 \cr \end{pmatrix}$ . Notons $\varphi _{\alpha , \beta }$ l’application linéaire associée à $M _{\alpha , \beta }$ et $F=\hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 \}$ . Par définition de la matrice associée à une application linéaire, $\hbox{Im }(\varphi _{\alpha , \beta })=\hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 , e_{3, \alpha } , e_{4, \beta }\}$ . En particulier, $F\subset \hbox{Im }(\varphi _{\alpha , \beta })$ . Comme $e_1$ et $e_2$ sont linéairement indépendants, $\hbox{rg}(\varphi _{\alpha , \beta })\geq 2$ . Ainsi $\varphi _{\alpha , \beta }$ est surjective si et seulement si l’un des deux vecteurs $e_{3, \alpha }$ ou $e_{4, \beta }$ n’appartient pas à $F$ . En ce cas en effet, $\hbox{rg}(\varphi _{\alpha , \beta })=3=\hbox{dim }{\R}^3$ . Or $e_{3, \alpha }$ et $e_{4, \beta }$ appartiennent à $F$ si et seulement si il existe $\lambda , \lambda ' , \mu , \mu ' \in {\R}$ tels que : $e_{3, \alpha }=\lambda e_1 + \mu e_2$ et $e_{4, \beta }=\lambda 'e_1 + \mu 'e_2$ . Un petit calcul montre donc que $\varphi _{\alpha , \beta }$ n’est pas surjective si et seulement si $\alpha =22$ et $\beta=4$ . Donc $\varphi _{\alpha , \beta }$ est surjective si et seulement si $\alpha \not =22$ ou $\beta\not =4$ .

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